Invarianz der Yang-Mills-Lagrange-Konjugation unter Ladung

Genau wie die Transformation des Fragestellers in der von Ihnen verlinkten Frage sind Ihre Transformationen falsch. Die Ladungskonjugation ist eine wörtliche Konjugation - Sie ersetzen alle Felder, die sich in eine nicht-triviale Darstellung der Eichgruppe umwandeln, durch Felder, die sich in ihre konjugierte Darstellung umwandeln . Es ist einfach so, dass diese Transformation dasselbe ist wie eine "Umkehrung des Vorzeichens" für a$\mathrm{U}(1)$Eichfeld, aber das gilt nicht für ein allgemeineres nicht-abelsches Feld. Konjugation bedeutet, die Darstellung zu nehmen$\rho(g)$aus der Gruppe$T^a$und ersetzt es durch$\overline{\rho(g)}$, Wo$\bar{}$ist die Transponierte im Darstellungsraum. Da ein Gruppenelement als Exponential geschrieben wird$\exp(\mathrm{i}A^a T^a)$für$T^a$Den Darstellungen von Generatoren der Algebra kann man entnehmen, dass diese sendet$\rho(T^a)$Zu$-\overline{T^a}$.

Für ein$\mathrm{U}(1)$-Theorie, die$T^a$ist gerade gleich der Identität auf dem eindimensionalen Darstellungsraum, was bedeutet, dass Sie die Ladungskonjugationskarte ausdrücken können als$A^a \mapsto -A^a$Karte auf den Koeffizienten$A^a$, was den Ursprung des Minuszeichens im abelschen Fall erklärt.

Lassen Sie mich versuchen, etwas physische Intuition in das zu bringen, was bei der Ladungskonjugation passiert. Bei Yang-Mühlen mit SU(N) wirkt die Ladungskonjugation auf den Eichfeldern explizit wie folgt

$$\mathcal{C} A_\mu^i \mathcal{C} \,T^i = - A_\mu^j (T^j)^T ,$$ Wo$T^j$sind die Generatoren von$SU(N)$, genauer gesagt können Sie die Transformation durch Ausdrücken berechnen$T^i$in der fundamentalen Darstellung $$\mathcal{C} A_\mu^i \mathcal{C} = - 2 \text{tr}(T^i (T^j)^T) A_\mu^j = -M^{ij}A_\mu^j,$$ seit$M$Ist eine symmetrische Matrix, kann sie immer diagonalisiert werden. Speziell im Fall von$U(1)$der einzige Generator ist die Identität, und deshalb wird das Photon in das Negativ seiner selbst umgewandelt. Im Fall von SU(2) dann$M^{ij}$wird aussehen wie $$M = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$ Sie können sich vorstellen, dass es eine Basis gibt, wo zwei der Eichbosonen unter Ladungskonjugation ausgetauscht werden, wo die Matrix sein wird $$M = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},$$ was uns die Intuition darüber sagen würde, wie die$Z$Boson dreht nur das Vorzeichen wie das Photon unter einer Ladungskonjugation, aber die$W^\pm$Bosonen werden ausgetauscht. Schließlich, um Ihre Frage genauer zu beantworten, induziert diese Transformation einen Flip-Sing in den Strukturkonstanten$f_{ijk}$, sodass der Kreuzterm der Lagrange-Funktion, um den Sie sich Sorgen gemacht haben, ladungskonjugationsinvariant ist.

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Da ergibt sich das umgekehrte Vorzeichen der Strukturkonstanten

$$\mathcal{L}^\prime=\text{tr}(\partial_\mu A^i_\nu T^i[A^{j\mu}T^j,A^{k\mu}T^k])\to \text{tr}(-\partial_\mu A^i_\nu (T^i)^T[-A^{j\mu}(T^j)^T,-A^{k\mu}(T^k)^T])\\ =-\partial_\mu A^i_\nu A^{j\mu}A^{k\mu}\text{tr}\{(T^i)^T[(T^j)^T,(T^k)^T]\}=-\partial_\mu A^i_\nu A^{j\mu}A^{k\mu}(-f_{jki})/2\,.$$