Was bewirkt die Einbeziehung zusätzlicher Darstellungen in die Wirkung einer Gittereichtheorie?

Ich lese gerade Introduction to Quantum Fields on a Lattice von Jan Smit. Bei der Einführung der Gitter-Eichfeld-Aktion als Summe über Plaketten sagt Smit, dass die Aktion im Allgemeinen eine Summe über Repräsentationen enthalten sollte. Er stellt fest, dass die „Wilson-Aktion“ nur die fundamentale Darstellung umfasst, die die Form annimmt

S ( U ) = 1 G 2 ρ ∑ P Betreff [ Tr   { U P } ] ,

während im Allgemeinen für Darstellungen mit bezeichnet R , könnten wir eine Gitteraktion haben

S ( U ) = ∑ P ∑ R β R Betreff [ χ R ( U P ) ] χ R ( 1 ) ,

Wo

χ R ( U ) = Tr { D R ( U ) } ,

1 G 2 = ∑ R β R ρ R D R , D R = χ R ( 1 )

Leider erklärt Smit nicht, warum man die Aktion so verallgemeinern sollte. Warum all dieser Fokus auf die Repräsentation? Was bedeutet das physikalisch für das Model?

Antworten (1)

Die Idee ist, dass, anstatt T R [ U P ] , können Sie jede Funktion verwenden F : G → C was unter Konjugation invariant ist F ( U ) ↦ F ( G U G − 1 ) , da diese Bedingung ausreicht, um die Invarianz unter Eichtransformation zu garantieren. Solche unveränderlichen Funktionen werden "Klassenfunktionen" genannt.

Eine Variation des Peter-Weyl-Theorems besagt dies

Die Charaktere der irreduziblen Darstellungen von G bilden eine Orthonormalbasis für den Raum der quadratintegrierbaren Klassenfunktionen auf G.

Mit anderen Worten, jede Klassenfunktion kann als Summe von Zeichen geschrieben werden, es reicht also aus, die von Ihnen geschriebenen Aktionen zu berücksichtigen.

Ah okay, dieses Theorem war mir nicht bewusst. Danke! Wie wählt man dann die zu verwendende Klassenfunktion aus? Ist die Wilson-Aktion ein gutes Modell für QCD oder erfassen allgemeinere Funktionen interessantere Phänomene?
Die Wilson-Aktion ist für QCD in Ordnung. Wenn Sie den Renormalisierungsgruppenfluss ein wenig ausführen, wird Ihre Aktion zu einer allgemeineren Klassenfunktion mutiert, nehme ich an, aber ich kenne keine spezifischen Verwendungszwecke. Wenn Sie sehen, dass ein Autor allgemeinere Aktionen in Betracht zieht, zieht er normalerweise allgemeinere Plaketten in Betracht (z. B. Länge 2 und Höhe 1), mit dem Ziel, die Konvergenz zu beschleunigen.
@ user1504 zum Beispiel: doi.org/10.1103/PhysRevD.26.2853 Entschuldigung, es ist nicht arxiv
Was bewirkt die Einbeziehung zusätzlicher Darstellungen in die Wirkung einer Gittereichtheorie?
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