Können wir Wegintegrale in Eichtheorien machen, ohne ein Eichmaß zu fixieren?

Sie missverstehen, was eine Eichtheorie ist, wenn Sie glauben, dass wir die Eichsymmetrie nicht irgendwann abschaffen sollten. Eine Eichsymmetrie ist nicht wie andere Symmetrien, sie bezieht sich nicht auf Konfigurationen der dynamischen Variablen, die physikalisch unterschiedlich sind – stattdessen bezieht sie sich auf die Konfiguration der dynamischen Variablen, die physikalisch nicht unterscheidbar sind . Es gibt überhaupt keinen erkennbaren Unterschied zwischen irgendeiner Konfiguration und ihrer umgebauten Version . Anders als beispielsweise bei einer Rotationssymmetrie, bei der sich ein Vektor, der in eine Richtung zeigt, von seiner gedrehten Version unterscheidet, gibt es in diesem Fall wirklich keine physikalisch sinnvolle Unterscheidung zwischen Konfigurationen, die durch Eichsymmetrien zusammenhängen. Siehe auch bspw.diese Frage , diese Frage , diese Frage und mehr.

Eichsymmetrien spiegeln die Redundanz in den Variablen wider, die wir zur Beschreibung des Systems gewählt haben , sie sind ausschließlich Merkmale einer bestimmten theoretischen Wahl und keine inhärenten Eigenschaften des betrachteten physikalischen Systems, wie z. B. die Rotationssymmetrie. Es ist daher nicht nötig, zu versuchen, diese Symmetrie zu wahren – wenn sie in einer gleichwertigen, aber bequemeren Beschreibung des Systems verloren geht, sollten wir nicht zögern. Es ist eine merkwürdige Tatsache, dass sich die eichtheoretische Beschreibung ziemlich oft als die bequemste herausstellt.

Außer natürlich, wenn wir Dinge wie das Pfadintegral machen wollen. Den naiven Pfad des Integrals über eine Aktion mit nicht fixierter Eichsymmetrie zu nehmen, ist physikalisch offensichtlich absurd : Sie integrieren über einen Raum dynamischer Variablen, wo jede Konfiguration unendlich viele verschiedene Konfigurationen hat, die genau denselben Zustand beschreiben genau das gleiche physische System , und Sie integrieren über alle. Was soll das sein? Es ist sicherlich nicht das Integral über alle möglichen physikalischen Pfade, es überzählt sie massiv und Sie haben keine Möglichkeit, die Art und Weise zu kontrollieren, wie es das tut.

Das Integral des natürlichen physikalischen Pfades ist eines, das einmal über jede physikalisch unterschiedliche Konfiguration integriert wird. Wenn wir ein Messgerät vollständig fixieren, macht das Fixieren des Messgeräts genau das: Aus allen möglichen äquivalenten Konfigurationen wählt die Messgerätbedingung einen und nur einen Repräsentanten aus, und wir möchten dann über diesen Repräsentantenraum integrieren, da es der Raum ist von physikalisch unterschiedlichen Konfigurationen. Unglücklicherweise bedeuten Gribov-Mehrdeutigkeiten , dass wir dies normalerweise nicht im gesamten Feldkonfigurationsraum tun können und möglicherweise feststecken, wenn wir das Pfadintegral nur über eine Teilmenge physikalischer Konfigurationen, eine sogenannte Gribov-Region, definieren.

Daher ist es unvernünftig zu erwarten, dass es ein Wegintegral gibt, ohne dass ein Messgerät festgelegt wird. Das Pfadintegral muss sich aufgrund seines eigentlichen Zwecks über den Raum aller physikalisch unterschiedlichen Konfigurationen integrieren, und der Weg, dies in einer Eichtheorie zu erreichen, ist eine Art Eichfixierung, es gibt keine Möglichkeit, diese Tatsache zu umgehen.

Bis heute weiß niemand, wie man eine klassische Theorie mit Eichsymmetrien kanonisch quantifizieren kann. Der Standardansatz (Dirac-Algorithmus), bei dem man die kanonischen Klammern durch (Anti-)Kommutatoren ersetzt, ist bedeutungslos, wenn die symplektische Form entartet ist. Siehe Quantization of Gauge Systems , von Marc Henneaux & Claudio Teitelboim für eine vollständige Diskussion darüber. In der Praxis muss man, um eine konsistente Theorie im kanonischen Formalismus zu formulieren, zuerst die Eichsymmetrien eliminieren, entweder indem man sie in Zwangsbedingungen (zweiter Klasse) umwandelt oder durch aufwändigere Methoden.

Ein zweiter, direkterer Ansatz besteht darin, der Quantisierung von Feynman zu folgen, wobei wir postulieren, dass die Matrixelemente aus einem funktionalen Integral berechnet werden können,

$$A\sim\int a(\varphi)\ \mathrm e^{iS[\varphi]}\ \mathrm d\varphi$$

Versuche, das obige Integral so allgemein wie nötig zu formalisieren, sind gescheitert. Ein möglicher Ansatz, den Raum von Feldkonfigurationen zu diskretisieren, hat zwei mögliche Ergebnisse: Die Gitterformulierung bricht entweder die Eichinvarianz (in diesem Fall haben wir die Eichung im Wesentlichen durch die Regularisierung festgelegt) oder nicht (in diesem Fall das Integral divergiert, insofern wir überintegrieren$\mathbb R^n$eine Funktion, die in einigen Richtungen nicht zerfällt). In jedem Fall sehen wir, dass eine naive Implementierung von Feynmans Ansatz auch nicht funktionieren kann.

Selbst im pragmatischsten Sinne ist die Quantentheorie in Gegenwart von Eichsymmetrien schlecht definiert: Wenn wir zusammenkommen, um alle formalen Manipulationen zu umgehen und die Theorie durch ihre Feynman-Regeln (formal gesprochen durch Horis Formel ) zu definieren,

$$Z[J]\sim \mathrm e^{iS_\mathrm{int}[\delta]}\mathrm e^{-\frac i2 J\cdot \Delta\cdot J}$$ wo $\Delta$die Umkehrung des quadratischen Teils der Lagrange-Funktion ist, schlägt das Programm fehl, weil $$\mathcal L_0\equiv\frac 14 F^2$$ ist nicht invertierbar.

Keiner dieser Ansätze scheint zu funktionieren. Das Problem lässt sich auf die Darstellungen der Poincaré-Gruppe zurückführen. Man kann zeigen, indem man die Eigenschaften der Poincaré-Gruppe verwendet, aber nichts über Lagrangians oder Pfadintegrale, dass der Propagator eines beliebigen Vektorfeldes ist

$$\Delta(p)=\frac{-1+pp^t/m^2}{p^2-m^2}-\frac{pp^t/m^2}{p^2-\xi m^2}$$ wo $m$ist die Masse des Spins $j=1$Teilchen, die durch das Vektorfeld erzeugt werden, und $\xi\equiv m^2/m_L^2$, wo $m_L$ist die Masse des Spins $j=0$Teilchen, die durch das Vektorfeld erzeugt werden.

Es ist einfach, die Grenzen zu überprüfen$\xi\to\infty$und$m\to 0$sind beide getrennt wohldefiniert, aber Sie können nicht beide Grenzen gleichzeitig nehmen. Das bedeutet, dass Sie nicht gleichzeitig ein Vektorfeld haben können, das masselosen Spin erzeugt$j=1$Teilchen und keine Längszustände. Also müssen Sie entweder

• Verwenden Sie massive Partikel, wie im Proca-Lagrange,
• akzeptieren, dass es negative Normzustände geben kann, wie in$R_\xi$QED,
• oder dass das Feld, das Partikel erzeugt, kein Vektor ist, wie in der QED in der Coulomb-Eichung.

Im ersten Fall der Begriff$\frac 12 m^2 A^2$, und im zweiten Fall der Begriff$\frac 12\xi^{-1}(\partial\cdot A)^2$, bricht die Eichinvarianz der Lagrange-Funktion. Im dritten Fall ist das Messgerät durch eine Zwangsbedingung festgelegt. In keinem dieser Fälle ist die Lagrange-Eichung invariant.

In der Gittereichtheorie auf einem endlichen Gitter das Volumen$vol(\mathcal{G})$der Gruppe von Gruppentransformationen ist endlich, da$\mathcal{G}$ist ein endliches Produkt von Kopien der Eichgruppe$G$. Das Integral$\int_{\mathcal{F}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$über dem Raum der Gitterverbindungen ist ebenfalls endlich. Folglich kann man Erwartungswerte ohne Eichfixierung nur durch Rechnen berechnen

$$\frac{1}{vol(\mathcal{G})} \int_{\mathcal{F}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$$ was gleich ist $\langle \mathcal{O} \rangle = \int_{\mathcal{F}/\mathcal{G}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$, solange die beobachtbare $\mathcal{O}$ist eichinvariant.

Das Festlegen von Messgeräten ist rechnerisch bequem, insbesondere zum Anpassen an die Kurzstrecken-Störungstheorie, aber nicht wirklich notwendig.