Erstellen Sie einen Rotations-Hamilton-Operator basierend auf einem Lagrange-Operator der allgemeinen Form

Question

Erstellen Sie einen Rotations-Hamilton-Operator basierend auf einem Lagrange-Operator der allgemeinen Form

artfin

Mir wurde gesagt, dass man einen Rotations-Hamiltonian basierend auf einem Lagrangian der allgemeinen Form bauen könnte: $\mathcal{L} = \mathcal{L} (\vec{\Omega})$ . Durch die Einführung von Euler-Winkeln könnte man Lagrange in Bezug auf Euler-Winkel und ihre Ableitungen umschreiben: $\mathcal{L} = \mathcal{L} (\vec{e}, \dot{\vec{e}})$ . Die Winkelgeschwindigkeit wird in Form von Euler-Winkeln folgendermaßen ausgedrückt:

\vec{Ω} = [\begin{matrix} Sünde (θ) Sünde (ψ) & \cos (ψ) & 0 \\ Sünde (θ) \cos (ψ) & - Sünde (ψ) & 0 \\ \cos (θ) & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} \dot{ϕ} \\ \dot{θ} \\ \dot{ψ} \end{matrix}] .

$\vec{\Omega} = \begin{bmatrix} \sin(\theta) \sin(\psi) & \cos(\psi) & 0 \\ \sin(\theta) \cos(\psi) & - \sin(\psi) & 0 \\ \cos(\theta) & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{bmatrix}.$ (Vektor

[\begin{matrix} ϕ \\ θ \\ ψ \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \phi \\ \theta \\ \psi \end{bmatrix}$ ist mit bezeichnet

\vec{e}

$\vec{e}$ . ) Ein großes Problem, auf das ich gestoßen bin, ist, dass die Winkelgeschwindigkeit vom allgemeinen Geschwindigkeitsvektor abhängt (

\dot{\vec{e}}

$\dot{\vec{e}}$ ) auf lineare Weise (durch linearen Operator

M (\vec{e})

$\mathbf{M}(\vec{e})$ Matrix davon ist oben dargestellt), also allgemeines Momentum

\vec{p_{e}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{e}}}

$\vec{p_e} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\vec{e}}}$ ist keine explizite Funktion des allgemeinen Geschwindigkeitsvektors (

\dot{\vec{e}}

$\dot{\vec{e}}$ ). Das heißt, der Satz von Donkin oder die Legendre-Transformation können nicht angewendet werden, da allgemeine Geschwindigkeitskomponenten nicht explizit als Funktionen von geschrieben werden können

\vec{e}

$\vec{e}$ Und

\vec{p_{e}}

$\vec{p_e}$ .

Peter Diehr

Ich habe einmal an einem Kurs über Lie-Algebren teilgenommen, bei dem der Schwerpunkt auf der Rotation starrer Körper in SO(3) lag, und wir haben diskrete Versionen der Hamilton-Gleichungen entwickelt, indem wir Variationstechniken direkt für jedes Problem verwendet haben. Wir haben dann Computersimulationen damit gemacht und eine sehr hohe Stabilität erreicht. Der Zweck des Kurses bestand darin, Techniken zu studieren, die für Orbitalberechnungen geeignet sind. Als Arbeitselement haben wir Lagerotationsmatrizen verwendet; dies sind schiefsymmetrische Matrizen, die eine Lie-Algebra in so(3) bilden. Die Klasse war sehr engagiert und cool.

artfin

Peter Diehr, und inwiefern ist der zeitdiskrete Hamiltonoperator hier von Nutzen?

Peter Diehr

Wir kamen von Lagrange zu Hamilton; Die Methode war anders als Ihre, aber ich kann mich an keine theoretischen Hindernisse erinnern. Aber der Lagrange wurde anders ausgedrückt.

Antworten (1)

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Ich habe einmal an einem Kurs über Lie-Algebren teilgenommen, bei dem der Schwerpunkt auf der Rotation starrer Körper in SO(3) lag, und wir haben diskrete Versionen der Hamilton-Gleichungen entwickelt, indem wir Variationstechniken direkt für jedes Problem verwendet haben. Wir haben dann Computersimulationen damit gemacht und eine sehr hohe Stabilität erreicht. Der Zweck des Kurses bestand darin, Techniken zu studieren, die für Orbitalberechnungen geeignet sind. Als Arbeitselement haben wir Lagerotationsmatrizen verwendet; dies sind schiefsymmetrische Matrizen, die eine Lie-Algebra in so(3) bilden. Die Klasse war sehr engagiert und cool.
Peter Diehr, und inwiefern ist der zeitdiskrete Hamiltonoperator hier von Nutzen?
Wir kamen von Lagrange zu Hamilton; Die Methode war anders als Ihre, aber ich kann mich an keine theoretischen Hindernisse erinnern. Aber der Lagrange wurde anders ausgedrückt.

Petr Smirnov · Answer 1

Die Lagrange-Funktion ist tatsächlich eine Gleichung von $\vec \Omega$ , im Allgemeinen wird es jedoch eine quadratische Funktion von sein $\vec \Omega$ , da die kinetische Rotationsenergie gegeben wäre durch

\frac{1}{2} {\vec{Ω}}^{T} ICH \vec{Ω}

$\frac{1}{2}\vec \Omega ^T \mathbf{I}\ \vec \Omega$ Dies würde Ihnen die gewünschten verallgemeinerten Impulse als Funktion der allgemeinen Geschwindigkeitsvektoren liefern, da die diagonalen Einträge des Trägheitstensors nicht Null sein dürfen, wodurch garantiert wird, dass quadratische Geschwindigkeitsterme in der Lagrange-Funktion erscheinen. Die genaue Form der Lagrange-Funktion hängt von dem sich drehenden Objekt und seinem Trägheitsmoment ab.

Die Notizen von David Tong behandeln den Fall eines Rotations-Lagranges in Bezug auf Euler-Winkel für eine symmetrische Spitze ziemlich klar. Aus der expliziten Lagrange-Funktion ist dies leicht ersichtlich $\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \dot{\vec{e}}^2}$ nicht Null ist, was die Anwendung der Legendre-Transformation ermöglicht.

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artfin

Peter Diehr

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Peter Diehr

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Petr Smirnov

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