Was ist die physikalische Interpretation der Poisson-Klammer [Duplikat]

Entschuldigung, wenn dies eine wirklich grundlegende Frage ist, aber wie lautet die physikalische Interpretation der Poisson-Klammer in der klassischen Mechanik? Wie ist insbesondere die Beziehung zwischen den kanonischen Phasenraumkoordinaten zu interpretieren,

{ q ich , p j } P B   =   δ j ich
Ich verstehe, dass zwischen diesen und den Kommutierungsbeziehungen in der Quantenmechanik in der klassischen Grenze eine 1-zu-1-Entsprechung besteht, aber in der klassischen Mechanik pendeln alle Observablen wie Position und Impuls, daher bin ich verwirrt, wie ich sie interpretieren soll obiges Verhältnis?

Wenn ich das richtig verstehe, zeigt die fundamentale Klammer, die Sie zeigen, dass die Phasenraumvariablen wirklich unabhängig voneinander sind, und es ist leicht zu erkennen, warum Sie aus der Mathematik das Delta erhalten. Sie können diese dann in einem kanonischen Quantisierungsschema verwenden. Sowohl die Quanten- als auch die klassische Mechanik (KvN-Theorie) können in eine Operatorform umgewandelt werden, und wir erlauben nur kommutierende Algebren in der klassischen Mechanik, während die Quantenmechanik auch nicht-kommutierende Observablen hat! Ich verstehe die Poisson-Klammer als Beispiel für die Änderung einer bestimmten Größe in Bezug auf die Phasenraumvariablen, z.
(Fortsetzung) für einige Funktionen F des Phasenraums ist die PB mit dem Hamilton-Operator eigentlich die zeitliche Ableitung der Funktion (addieren Sie a ∂ F / ∂ t ). Da die Zeitentwicklung als infinitesimale kanonische Transformation angesehen werden kann, sehen wir eine Beziehung zwischen den Generatoren der CTs und der Auswirkung auf die Funktion. Daher ist die Poisson-Klammer in der Hamiltonschen Version des Satzes von Noether am nützlichsten, so dass, wenn eine Funktion unter der Wirkung eines Generators unveränderlich ist, ihr PB mit dem Generator Null ist.

Antworten (1)

In einem ziemlich allgemeinen Ansatz können Sie die Poisson-Klammer betrachten { g , f } als Ausdruck der Änderungsrate von g als Folge einer durch induzierten Strömung f . Wie von AngusTheMan in den Kommentaren erwähnt, erhalten Sie die Zeitvariation von g wenn f = H (unter der Annahme, dass Mengen nicht explizit zeitabhängig sind). Hier g und f sind beliebige (glatte) Funktionen auf dem Phasenraum, also Observablen. Wann g = q und f = p , da die Impulse die Generatoren von Übersetzungen sind, wird der Fluss dadurch erzeugt f als Übersetzungen interpretiert werden können, so dass die kanonische Klammer

{ q , p } = 1
impliziert eine Variation von δ q = { q , p } ϵ = ϵ . Wenn man dies auf viele Dimensionen verallgemeinert, erhält man
δ q ich = { q ich , p j } ϵ = δ ich j ϵ ,
was die Tatsache ausdrückt, dass p j generiert die Übersetzungen entlang der j -te Koordinate (tatsächlich q ich Änderungen durch ϵ > 0 nur wenn j = ich ).

Hat die Poisson-Klammer also nichts mit der Kommutativität konjugierter Variablen zu tun? Wenn ja, wie erhält man daraus in der QM Vertauschungsrelationen? Ist die Poisson-Klammer eine abgeleitete Größe oder nur als solche definiert?
Die klassische Mechanik hat eine kommutative Struktur. In Bezug auf die Operatoralgebren wird es durch die Algebra der glatten Funktionen im Phasenraum beschrieben, und die Realwertfunktionen sind die Observablen. Die Tatsache, dass Heisenberg-Relationen mit den kanonischen Klammern verknüpft sind, ist nur ein Quantisierungsverfahren. Poisson-Klammern haben eine genaue Definition und die kanonischen Klammern folgen daraus.
Ist es also der Punkt, dass es eine Beziehung zwischen ihnen gibt, aber dass die Poisson-Klammer nicht beschreibt, ob Observable pendeln oder nicht, wo als "quantisierte" Version der Kommutator ist? Kennen Sie Vorlesungsunterlagen (oder andere Quellen), die die Verbindung zwischen den beiden gut beschreiben?
Ich würde es vielleicht mit Diracs Lectures on Quantum Mechanics versuchen, obwohl die Beschreibung in gewissem Sinne "fortgeschritten" ist. Ich denke jedoch, dass es ein gutes Gefühl dafür gibt, was die PB sind, wenn Sie Einschränkungen haben, und wie sie sich dann auf Quantensysteme beziehen.
Ok danke werde ich mir mal anschauen. Wäre es in Bezug auf Ihre ursprüngliche Antwort überhaupt richtig zu sagen, dass (zumindest intuitiv) die Poisson-Klammer in CM mit dem Kommutator in QM in dem Sinne verwandt ist, dass der PB { q ich , p j } misst die Übersetzung entlang q ich generiert durch p j ...
... und daher können wir, wenn wir den Impuls eines Teilchens in QM messen, nicht gleichzeitig seine Position angeben (da der gemessene Impuls eine Positionsänderung erzeugt haben wird). Wenn wir seine Position messen, können wir in ähnlicher Weise nicht gleichzeitig den Impuls bestimmen, der seine Verschiebung zu dieser Position erzeugt hat?!
Was ist die physikalische Interpretation der Poisson-Klammer [Duplikat]
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