Randbedingungen im holomorphen/kohärenten Zustandspfadintegral

Die Frage von OP ist im Wesentlichen die Überlegung (im Kontext des holomorphen / kohärenten Zustandspfadintegrals), ob ein Variablenpaar ein komplexes konjugiertes Paar ist oder$^1$Wirklich unabhängige Variablen?

TL;DR: Nun, es kommt darauf an.

Notation in dieser Antwort: In dieser Antwort let$z,z^{\ast}\in \mathbb{C}$bezeichnen zwei unabhängige komplexe Zahlen. Lassen$\overline{z}$bezeichnen das komplexe Konjugat von$z$.

Erinnern Sie sich, dass der kohärente Ket-Zustand ist

$$|z \rangle~:=~e^{\hat{a}^{\dagger}z/\hbar}|0 \rangle, \qquad \hat{a}|z \rangle~=~z|z \rangle , \qquad [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]~=~\hbar \hat{\bf 1}.\tag{1}$$

Es ist üblich$^2$um den kohärenten BH-Zustand zu definieren

$$\langle z | ~:=~ |\bar{z} \rangle^{\dagger} ~\stackrel{(1)}{=}~\langle 0 |e^{z\hat{a}/\hbar}\tag{2}$$

zum kohärenten Ket-Zustand (1) durch Einbeziehung einer komplexen Konjugation vgl. zB Art.-Nr. 1. Mit anderen Worten, wir haben die bequeme Regel, dass

$$\langle z^{\ast} | ~\stackrel{(2)}{=}~ \langle 0 |e^{z^{\ast}\hat{a}/\hbar}, \qquad \langle z^{\ast} |\hat{a}^{\dagger} ~=~z^{\ast} \langle z^{\ast} | . \tag{3}$$

Mit dieser Konvention (2) lautet die Vollständigkeitsrelation$^3$

$$\int_{\mathbb{C}} \frac{d\bar{z}~dz}{2 \pi i\hbar} e^{-\bar{z}z/\hbar} |z \rangle\langle \bar{z} |~=~\hat{\bf 1}.\tag{4}$$

Es ist wichtig zu erkennen, dass die kohärenten Zustände eine übervollständige Menge von Zuständen sind

$$\langle z^{\ast}|z \rangle~=~e^{z^{\ast} z/\hbar} \tag{5}$$

mit nicht orthogonalen Überlappungen. Das Integral des kohärenten Zustandspfads lautet

$$\begin{align} \langle z_f^{\ast}, t_f | z_i, t_i \rangle ~=~& \int_{z(t_i)=z_i}^{\bar{z}(t_f)=z^{\ast}_f} \! {\cal D}\bar{z}~{\cal D}z ~e^{iS[z,\bar{z}]/\hbar}, \cr {\cal D}\bar{z}~{\cal D}z~:=~& \prod_{n=1}^N \frac{d\bar{z}_n~dz_n}{2 \pi i\hbar}, \end{align}\tag{6}$$

$$\begin{align} iS[z,z^{\ast}]~:=&~ (1-\lambda)z^{\ast}(t_f)~z(t_f) + \lambda z^{\ast}(t_i) z(t_i) \cr +& \int_{t_i}^{t_f}\! dt \left[\lambda \dot{z}^{\ast} z -(1-\lambda) z^{\ast} \dot{z}- iH_N(z^{\ast},z) \right],\end{align}\tag{7}$$

Wo$\lambda\in \mathbb{R}$ist eine reelle Konstante, von der die Aktion (7) aufgrund des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung eigentlich nicht abhängt . Die Hamilton-Funktion

$$H_N(z^{\ast},z)~:=~\frac{\langle z^{\ast}|\hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})|z \rangle}{\langle z^{\ast}|z \rangle}\tag{8}$$

ist die normale/Wick-geordnete Funktion/das Symbol, das dem Quanten-Hamilton-Operator entspricht

$$\hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})~=~\left. e^{\hat{a}^{\dagger}\frac{\partial}{\partial z^{\ast}}}e^{\hat{a}\frac{\partial}{\partial z}}H_N(z^{\ast},z)\right|_{z=0=z^{\ast}}.\tag{9}$$

Zur Reihenfolge der Operatoren im Pfadintegral siehe zB auch diesen Phys.SE-Beitrag.

Im Standard- Feynman-Pfadintegral gibt es 2 reale Randbedingungen (BCs), typischerweise Dirichlet-BCs

$$q(t_i)~=~q_i \qquad\text{and}\qquad q(t_f)~=~q_f.\tag{10}$$

Die Position$\hat{q}/\sqrt{2}$und der Schwung$\hat{p}/\sqrt{2}$Operatoren verwandt sind

$${\rm Re}(\hat{a})~:=~\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{2} \qquad\text{and}\qquad{\rm Im}(\hat{a})~:=~\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{2i},\tag{11}$$

bzw. Im kohärenten Zustandspfadintegral (6) gibt es 2 komplexe (= 4 reelle) BCs

$$z(t_i)~=~z_i \qquad\text{and}\qquad \bar{z}(t_f)~=~z^{\ast}_f. \tag{12}$$

Mit anderen Worten, wir geben sowohl die Anfangsposition als auch den Anfangsimpuls an und verletzen naiverweise das HUP . Ähnlich für den Endzustand. Dies hängt mit der Übervollständigkeit (5) der kohärenten Zustände zusammen.

Die übervollständigen BCs (12) bedeuten, dass es typischerweise keinen zugrunde liegenden physikalischen klassischen Pfad mit gibt

$$z^{\ast}~=~\bar{z}\tag{13}$$

das erfüllt [neben den Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen

$$\dot{z}~\approx~-i\frac{\partial H(z,z^{\ast})}{\partial z^{\ast}} \quad\text{and}\quad \dot{z}^{\ast}~\approx~i\frac{\partial H(z,z^{\ast})}{\partial z}, \tag{14}$$

dh die Hamilton-Gleichungen] alle BCs (12) gleichzeitig, es sei denn, wir stimmen die BCs (12) entsprechend ab, vgl. zB Art.-Nr. 1. Die genaue Abstimmung hängt von der vorliegenden Theorie ab.

Trotzdem finden wir im Prinzip immer einen klassischen Weg$t\mapsto (z_0(t),z_0^{\ast}(t))$in doppelt so vielen Variablen, die Gl. (12) und (14) aber nicht unbedingt Gl. (13). Wir können dann die komplexe Funktionstheorie verwenden, um zu verformen$^4$die Integrationskontur im kohärenten Zustandspfadintegral, um nur über Quantenfluktuationen zu integrieren$\eta$

$$\langle z_f^{\ast}, t_f | z_i, t_i \rangle ~\stackrel{(6)}{=}~ \int_{\eta(t_i)=0}^{\bar{\eta}(t_f)=0} \! {\cal D}\bar{\eta}~{\cal D}\eta ~e^{iS[z_0+\eta,z_0^{\ast}+\bar{\eta}]/\hbar}, \tag{15}$$

und auf diese Weise immer noch eine WKB/stationäre Phasennäherung um einen klassischen Pfad herum erreichen$(z_0,z_0^{\ast})$.

Verweise:

1. LS Braun, QFT; Abschnitt 1.8.

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$^1$Weitere Informationen zu komplexer Konjugation und Unabhängigkeit von Variablen finden Sie beispielsweise auch in diesem Phys.SE-Beitrag.

$^2$ Anmerkung: Einige Autoren nehmen keine komplexe Konjugation in die Definition (2) auf, vgl. zB Wikipedia !

$^3$Mit der angezeigten Reihenfolge funktionieren die Formeln in dieser Antwort auch für das Integral des Grassmann-ungerade/fermionischen kohärenten Zustandspfads, außer man sollte den Normalisierungsfaktor weglassen$2\pi i$in Gl. (4) & (6).

$^4$Die Deformation der Integrationskontur lässt sich am einfachsten mit Orts- und Impulsvariablen begründen

$$q~=~\frac{z+z^{\ast}}{\sqrt{2}} \qquad\text{and}\qquad p~=~\frac{z-z^{\ast}}{\sqrt{2}i} ,\tag{16}$$

das dürfte komplex sein.