Angenommen, ich schreibe den Hamilton-Operator/die Energie meines Systems in sphärischen Koordinaten ( ) mit konjugierten Impulsen ( ).
Wie berechne ich die Partitionsfunktion?
Wenn
was sollte Sei?
Bearbeiten: Um meine Frage zu ergänzen, habe ich versucht, die Impulse als Funktionen von zu schreiben (und damit in Abhängigkeit von auch) aber es ist ein Durcheinander und ich denke nicht, dass das der gute Ansatz ist.
Ich erspare Ihnen die Kotangensbündel und Differentialgeometrie und fasse nur zusammen, dass tatsächlich so dass der gesamte Phasenraum Jacobi 1 ist,
Eine direkte (Blut, Schweiß und Tränen) Ableitung ist in Peter Joots Blog verfügbar .
Der Grund dafür ist, dass Kartesisch zu Sphärisch eine kanonische Punkttransformation ist, sodass Phasenraumvolumina erhalten bleiben (Liouvilles Theorem – das auch für Bewegung gilt, da dies auch eine kanonische Transformation ist, die durch den Hamiltonian erzeugt wird).
Betrachten Sie zur Begründung ein freies Teilchen der Masse m = 1. Der Hamiltonian ist dann , Erstellen
Dies sind die kanonisch konjugierten Impulse, die aus dem kanonischen Verfahren erhalten wurden, und z. B. ist nicht die Projektion von in die Richtung !
Sie haben dieses kovariante Bit zuvor im Gradienten gesehen, der in sphärischen Koordinaten ausgedrückt wird.
Zweimal ist der Hamiltonian in dieser Sprache
Das Volumenelement im Phasenraum ist dann von oben
Jakob1729
Moritz
Jakob1729
Kosmas Zachos
Kosmas Zachos