In der Klassischen Mechanik gibt es diesen Begriff der Konfigurationsmannigfaltigkeit . Obwohl ich viel davon gehört habe und dieses Konzept oft verwende, bin ich mir nicht sicher, ob ich sie wirklich verstehe, weil ich kein Buch gefunden habe, das darüber spricht, außer Spivaks Physik für Mathematiker.
Mein Verständnis ist also folgendes: Die Konfigurationsmannigfaltigkeit eines Systems in der Klassischen Mechanik ist im Grunde eine glatte Mannigfaltigkeit deren Punkte mögliche Zustände des Systems sind. In diesem Fall kann für ein Teilchen in drei Dimensionen jeder Zustand als der Punkt im Raum betrachtet werden, an dem sich das Teilchen befindet, und so ist die Konfigurationsmannigfaltigkeit.
Wenn man das in Spivaks Buch liest, scheint es, als würde er nur über Konfigurationsmannigfaltigkeiten sprechen, wenn er über Einschränkungen spricht. Welche Beziehung besteht also zwischen Konfigurationsmannigfaltigkeiten und Nebenbedingungen? Der Konfigurationsverteiler muss die Einschränkungen bereits in irgendeiner Weise enthalten?
Ich dachte, bevor ich dies las, dass die Konfigurations-Mannigfaltigkeit einfach eine Mannigfaltigkeit wäre, deren Punkte wir wählen, deren Punkte Zustände kennzeichnen, und dass eine Einschränkung darin bestehen würde, die zulässigen Zustände auf eine Untermannigfaltigkeit des ersten zu beschränken.
Was ist wirklich die genaue Definition von Konfigurationsmannigfaltigkeit und wie bezieht sie sich auf Einschränkungen?
Ich denke, dass Ihre Beschreibung, dass die Punkte der Konfigurationsmannigfaltigkeit mögliche Zustände des Systems sind, einer präzisen Definition so nahe kommt, wie man finden wird. So für Teilchen in drei Dimensionen, die Konfiguration Mannigfaltigkeit ist gerecht .
Betrachten Sie in Bezug auf die Beziehung zu Einschränkungen das einfachste Beispiel: zwei Partikel, die mit einem starren Stab mit Länge verbunden sind , in drei Dimensionen. Lassen Sie die Teilchen Positionen haben Und , . Dann ist die Einschränkung einer starren Stange dies
Es ist ein allgemeines Prinzip, dass die Niveaumengen einer glatten Funktion der Koordinaten auch glatte Mannigfaltigkeiten sind. Daher können wir sagen, dass das Auferlegen einer Beschränkung bedeutet, eine Untermannigfaltigkeit der Konfigurationsmannigfaltigkeit für ein unbeschränktes System auszuwählen.
OP fragt im Wesentlichen nach der Terminologie. Seien Sie wie üblich darauf vorbereitet, dass verschiedene Autoren verschiedene Begriffe unterschiedlich nennen.
Nun, hier ist ein Vorschlag: Rufen Sie den Konfigurationsraum auf, bevor (nachdem) die Einschränkungen für den erweiterten (physikalischen) Konfigurationsraum implementiert werden.
Allgemeiner gesagt, wenn ein Autor über einen Konfigurationsraum spricht, muss aus dem Kontext abgeleitet werden, ob er über den erweiterten oder den physikalischen Konfigurationsraum spricht.
Normalerweise nennen die Leute Konfigurationsraum , , auf den Raum aller möglichen Koordinaten, die zur Bestimmung Ihres Systems benötigt werden (obwohl ich auch die Geschwindigkeiten einbeziehen würde).
Die Koordinaten sind drei... und wir müssen drei Koordinaten pro (Punkt-)Teilchen angeben, dh z Teilchen braucht man -Koordinaten, die a beschreiben Raum.
Wenn Sie zwei Partikel haben , die durch einen Abstand getrennt werden müssen , das bedeutet, dass Sie eine Koordinate weniger benötigen, um Ihr System zu bestimmen, Das heißt, Sie brauchen fünf statt sechs, sagen wir drei euklidische Koordinaten, um die Position des ersten Teilchens zu bestimmen, und zwei Winkel, um die Position des zweiten (bezüglich des ersten) zu bestimmen .