Lagrange-Multiplikator und Zwangskraft

Gegeben sei eine (Konfigurations-) Mannigfaltigkeit$M$. Oft geht man in der Physik von einer Zwangsfunktion aus $\chi$erfüllt die folgenden Regularitätsbedingungen:

1. $\chi: \Omega\subseteq M \to \mathbb{R}$ist in einer offenen Nachbarschaft definiert$\Omega$der eingeschränkten Untermannigfaltigkeit$C\subset M$;

2. $\chi$ist (ausreichend$^1$mehrfach) differenzierbar in$\Omega$;

3. Der Gradient$\vec{\nabla} \chi$auf der eingeschränkten Untermannigfaltigkeit nicht verschwindet$C\subset M$.

Hier wird das implizit verstanden$\chi$verschwindet auf der beschränkten Untermannigfaltigkeit$C\subset M$, dh

$$C\cap \Omega ~=~\chi^{-1}(\{0\})~:=~\{x\in\Omega \mid \chi(x)=0\}.$$

[Außerdem stellen wir uns vor, dass die voll eingeschränkte Untermannigfaltigkeit$C\subset M$wird von einer Familie gedeckt$(\Omega_{\alpha})_{\alpha\in I}$von offenen Nachbarschaften, jede mit einer entsprechenden eingeschränkten Funktion$\chi_{\alpha}: \Omega_{\alpha}\subseteq M \to \mathbb{R}$, und so dass die Einschränkung funktioniert$\chi_{\alpha}$Und$\chi_{\beta}$in Nachbarschaftsüberschneidungen kompatibel sind$\Omega_{\alpha}\cap \Omega_{\beta}$.] Da es (lokal) nur eine Nebenbedingung gibt, ist die eingeschränkte Untermannigfaltigkeit eine Hyperfläche , dh mit der Kodimension 1. [Allgemeiner gesagt, es könnte mehr als eine Nebenbedingung geben: Dann sollten die obigen Regularitätsbedingungen entsprechend modifiziert werden. Siehe z. B. Ref.-Nr. 1 für Details.]

Die obigen Regularitätsbedingungen sind streng genommen nicht immer notwendig, vereinfachen aber die allgemeine Theorie beschränkter Systeme erheblich . ZB in Fällen, in denen man den Umkehrfunktionssatz , den impliziten Funktionssatz verwenden oder umparametrieren möchte$\chi\to\chi^{\prime}$die Einschränkungen. [Die Rangbedingung (3.) kann an das Nichtverschwinden des Jacobi geknüpft werden$J$im Umkehrfunktionssatz.]

Quantenmechanisch können Reparametrisierungen von Einschränkungen einen Faddeev-Popov-ähnlichen Determinantenfaktor im Pfadintegral induzieren.

Beispiel 1a: Erstes Beispiel von OP (v1)

$$\tag{1a} \chi(x,y)~=~x^2+y^2-\ell^2$$ würde Bedingung 3 fehlschlagen, wenn $\ell=0$. Wenn $\ell=0$, Dann $C=\{(0,0)\}\subset M=\mathbb{R}^2$ist nur der Ursprung, der die Kodimension 2 hat. Andererseits ist die $\chi$-Constraint erfüllt die Regularitätsbedingungen 1-3, wenn $\ell>0$.

Beispiel 1b: Erstes Beispiel von OP (v3)

$$\tag{1b} \chi(x,y)~=~\sqrt{x^2+y^2}-\ell$$ ist im Ursprung nicht differenzierbar $(x,y)=(0,0)$, und daher würde Bedingung 2 fehlschlagen, wenn $\ell=0$. Andererseits ist die $\chi$-Constraint erfüllt die Regularitätsbedingungen 1-3, wenn $\ell>0$.

Beispiel 2a: Angenommen$\ell>0$. OPs 2. Beispiel (v1)

$$\tag{2a} \chi(x,y)~=~\sqrt{x^2+y^2-\ell^2}$$ würde Bedingung 1 und 2 versagen. Die Quadratwurzel ist auf einer Seite der eingeschränkten Untermannigfaltigkeit nicht wohldefiniert $C$.

Beispiel 2b: Angenommen$\ell>0$. OPs 2. Beispiel (v3)

$$\tag{2b} \chi(x,y)~=~(x^2+y^2-\ell^2)^2$$ Bedingung 3 würde da der Gradient fehlschlagen $\vec{\nabla} \chi$verschwindet auf der beschränkten Untermannigfaltigkeit $C$.

Verweise:

1. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994; Unterabschnitt 1.1.2.

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$^1$Wie oft genau differenzierbar ist, hängt von der Anwendung ab.

Im Allgemeinen ist dies in Ordnung, solange die Einschränkung holonom ist. Jede (ausreichend) differenzierbare Funktion, die auf der interessierenden Untermannigfaltigkeit verschwindet, in einer offenen Umgebung der letzteren definiert ist und deren Gradient dort nicht verschwindet, wird gut funktionieren.

Der Grund dafür ist, dass jede andere solche Funktion$h$kann in Bezug auf die ursprüngliche Funktion geschrieben werden$f$als

$$h=fg,$$ Wo $g$verschwindet nicht auf der beschränkten Untermannigfaltigkeit. Dadurch kann sich die Größe des Gradienten ändern $h$aber nicht seine Richtung: $$\nabla h =g \nabla f + f\nabla g=g\nabla f.$$ Intuitiver sind die Farbverläufe von $f$Und $h$müssen beide orthogonal zu ihrer gemeinsamen Kontur, der eingeschränkten Untermannigfaltigkeit, sein und müssen daher linear abhängig sein.

Im Allgemeinen werden die entsprechenden Bewegungsgleichungen unterschiedlich sein, aber sie werden dieselben Lösungen haben. Der Lagrange-Multiplikator einschließlich seiner Zeitabhängigkeit muss sich offensichtlich ändern.

Beachten Sie andererseits, dass dies wie angegeben nur für holonome Beschränkungen funktioniert; es sollte für anholonomische funktionieren, aber ich kann den Beweis nicht ganz sehen. Schließlich ist Ihr zweites Beispiel, einschließlich einer Quadratwurzel, nicht in einer offenen Umgebung des Kreises definiert und daher nicht gültig.