Gram-Schmidt-Orthogonalisierung für Skalare

Ich lese Kapitel 11 (Normalmodi) von Classical Mechanics (5. Aufl.) von Berkshire und Kibble und bin auf S. 253:

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Die kinetische Energie in Bezug auf die verallgemeinerten Koordinaten ist gegeben durch:

$$T=\frac{1}{2}a_{11}\dot{q_1}^2+a_{12}\dot{q_1}\dot{q_2}+\frac{1}{2}a_{22}\dot{q_2}^2.$$ Es ist eine erhebliche Vereinfachung, die Koordinaten orthogonal zu wählen, und dies ist immer möglich. Zum Beispiel können wir setzen $$q_1'=q_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}q_2,$$ so dass $$T=\frac{1}{2}a_{11}\dot{q_1}'^2+\frac{1}{2}a_{22}'\dot{q_2}^2 \,\,\text{with}\,\,a_{22}'=a_{22}-\frac{a_{12}^2}{a_{11}}.$$ Ein ähnliches Verfahren kann im allgemeinen Fall verwendet werden. (Es wird als Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren bezeichnet.) Wir können zuerst die beteiligten Kreuzprodukte eliminieren$\dot{q}_1$durch die Umwandlung in $$q_i'=q_i+\frac{1}{a_{ii}}\sum^{n}_{r \neq i}a_{ir}q_r. \tag{1}$$

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Aus der Vektordefinition von Gram–Schmidt

$$\boldsymbol{b'}=\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a})\hat{a}$$ Ich würde sowas erwarten $$q_i'=q_i-\sum_{r\neq i}^n\frac{a_{ir}q_r}{a_{rr}}. \tag{2}$$ Könnte jemand erklären, woher (1) kommt?

BEARBEITEN

Außerdem ist mir aufgefallen, dass der Ausdruck für die kinetische Energie dem metrischen Tensor ähnelt:

$$ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu} \iff T=\frac{1}{2}a_{11}\dot{q_1}^2+a_{12}\dot{q_1}\dot{q_2}+\frac{1}{2}a_{22}\dot{q_2}^2.$$ so dass $$g_{ij}=\frac{1}{2}a_{ij}$$ Heißt das, es ist möglich, (1) durch eine Transformation in die rechtwinkligen Koordinaten mit so etwas wie zu erhalten $$\frac{\partial^2x^n}{\partial \bar{x}^i\bar{x}^j}=-\frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}}^j \Gamma^n_{pq} \to \frac{\partial^2q_n}{\partial q'_i \partial q'_ j}=-\sum_{p, r}\frac{\partial q_p}{\partial q'_i}\frac{\partial q_r}{\partial q'_j} \Gamma^n_{pr}$$ ? Wo$\bar{x}^i$sind Koordinaten im rechtwinkligen System.