Klassische Mechanik, Das Theoretische Minimum: Drehimpulserhaltung für das Doppelpendel ohne Gravitationsfeld

Ich lese „Classical Mechanics, The Theoretical Minimum“ von Susskind und Hrabovsky. Ich kann alle Aufgaben lösen, bis auf eine: Aufgabe 7 aus Vorlesung 7, wo Sie beweisen sollen, dass der Drehimpuls eines Doppelpendels erhalten bleibt, wenn kein Gravitationsfeld vorhanden ist.

Die Massen und Stablängen sind alle zu 1 gewählt. Die Wahl der Koordinaten unterscheidet sich von den meisten Lehrbüchern darin, dass der Winkel des zweiten Stabs in Bezug auf den Winkel des ersten Stabs und nicht in Bezug auf die Vertikale gemessen wird. siehe abbildung:

Der Ausdruck für den Lagrange ohne Gravitationsfeld wird im Buch als angegeben

$$L = \frac{\dot{\theta}^2}{2} + \frac{\dot{\theta}^2 + (\dot{\theta}+\dot{\alpha} )^2}{2} + \dot{\theta} (\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \cos \alpha$$ Aus diesem Ausdruck ist das ersichtlich $\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$Und $\frac{\partial L}{\partial \alpha} = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha$. Die anderen beiden Terme in den Euler-Lagrange-Gleichungen werden $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 3\dot{\theta} + \dot{\alpha} + (2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \cos \alpha,$$ Und $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} = \dot{\theta} + \dot{\alpha} + \dot{\theta} \cos \alpha.$$ Die zeitliche Ableitung der letzten beiden Gleichungen ergibt $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 3\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + (2\ddot{\theta} + \ddot{\alpha})\cos \alpha - \dot{\alpha}(2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \sin \alpha$$ Und $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} = \ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + \ddot{\theta}\cos \alpha - \dot{\alpha} \dot{\theta} \sin \alpha.$$

Verwendung der konjugierten Drehimpulse$p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}$Und$p_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}$, können die Euler-Lagrange-Gleichungen geschrieben werden als

$$\frac{d p_{\theta}}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0,$$ Und $$\frac{d p_{\alpha}}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \alpha} = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$ Von den letzten vier Gleichungen können wir die erste und die dritte und die zweite und die vierte gleichsetzen, um die Bewegungsgleichungen zu erhalten $$3\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + (2\ddot{\theta} + \ddot{\alpha})\cos \alpha - \dot{\alpha}(2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \sin \alpha = 0,$$ Und $$\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + \ddot{\theta}\cos \alpha - \dot{\alpha} \dot{\theta} \sin \alpha = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$

Die Erhaltung des Gesamtdrehimpulses impliziert dies$\frac{d}{dt} \big[ p_{\theta} + p_{\alpha}\big] = 0$muss stimmen. Die obigen Gleichungen ergeben jedoch

$$\frac{d}{dt} \big[ p_{\theta} + p_{\alpha}\big] = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$ Ich sehe nicht, wie ich beweisen kann, dass die rechte Seite der letzten Gleichung Null ist, weder aus den Bewegungsgleichungen noch auf andere Weise. Kann mir bitte jemand bei diesem Problem helfen?