konzeptioneller Zweifel an der Methode, um das Trägheitsmoment um eine Achse zu finden

Ich habe diese Frage zuvor gestellt, ob ich eine Komponente der Winkelgeschwindigkeit entlang einer anderen Achse nehmen und sagen kann, dass sich der Körper mit dieser Komponente um diese Achse dreht.

Jetzt habe ich noch einen Zweifel:

Stellen Sie sich einen starren Körper vor, der eine Trägheit hat ICH 0 und Winkelgeschwindigkeit ω 0 um irgendeine Achse. Gemäß der Antwort auf meine obige Frage kann ich also sagen, dass das Objekt eine Winkelgeschwindigkeit hat

ω 0 cos ⁡ θ
um eine geneigte Achse θ . Und ich kann auch sagen, dass der Drehimpuls um diese Achse sein wird
ICH 0 ω 0 cos ⁡ θ
indem man die Komponente des Drehimpulses um die ursprüngliche Achse nimmt, ICH 0 ω 0 entlang der Achse bei θ .

Warum kann ich also nicht sagen, dass die Trägheit um diese Achse sein wird

ICH = L ω = ICH 0 ω 0 cos ⁡ θ ω 0 cos ⁡ θ = ICH 0

Wo ist dabei das Problem?

Sie benötigen den gesamten Trägheitstensor sowie den Vektor der Winkelgeschwindigkeiten, um das zu tun, was Sie zu tun versuchen.
Beachten Sie auch, dass der Drehimpuls ein Vektor und kein Skalar ist, sodass sowohl die Richtung als auch die Größe wichtig sind. Am besten alle Komponenten gleichzeitig betrachten.

Antworten (2)

Nun, wenn Sie Ihre Argumentation durchsehen, werden Sie feststellen, dass die zweite Gleichung, die Sie geschrieben haben, falsch ist. Der Winkelimpuls ist das Trägheitsmoment mal der Winkelgeschwindigkeit, und wenn Sie dies genau betrachten, werden Sie feststellen, dass Sie das Trägheitsmoment als dasselbe angenommen haben wie zuvor und dann beweisen Sie, dass das Trägheitsmoment dasselbe ist. Es ist sehr wichtig zu erkennen, dass Physik nicht nur ein Haufen Gleichungen ist und Sie die Werte verschiedener Größen eingeben und die Antworten herausarbeiten. Sie müssen sich darüber im Klaren sein, dass jede Gleichung eine reale physikalische Situation darstellt. Nehmen Sie zum Beispiel Ihre obige Frage, Sie haben bewiesen, dass das Trägheitsmoment nicht von der Ausrichtung der Achse abhängt, was natürlich falsch ist.

Die zweite Gleichung ergibt sich aus der Komponente des Drehimpulses ICH 0 ω 0 entlang der geneigten Achse θ was mir gibt ICH 0 ω 0 cos ⁡ θ .
Nun, ich denke, Sie müssen wissen, dass der Drehimpuls ein Vektor ist und die Winkelgeschwindigkeit auch ein Vektor, sodass Sie immer Komponenten nehmen können, wie Sie möchten, aber im Allgemeinen ist der Drehimpuls nicht gleich dem Trägheitsmoment mal der Winkelgeschwindigkeit.
also wann ist L = ICH ω gültig?
Es ist nur, wenn Sie eine feste Achsendrehung haben. Die allgemeine Beziehung beinhaltet Tensoren.

Hier sind die Grundlagen, die Sie vermissen. Betrachten Sie einen starren Körper mit (festem) Trägheitstensor um die Körperachsen als

ICH B Ö D j = [ ICH 11 ICH 12 ICH 13 ICH 12 ICH 22 ICH 23 ICH 13 ICH 23 ICH 33 ]

Wenn die 3D-Orientierung des starren Körpers durch 3 Einheitsvektoren der Trägheitsachsen gegeben ist u ^ X , u ^ j Und u ^ z dann ist die 3x3 Rotationsmatrix

E = [ u ^ X u ^ j u ^ z ]
und der Trägheitstensor in den Weltkoordinaten ist (kongruente Transformation)

ICH = E ICH B Ö D j E ⊤

Wenn sich der Körper um eine Achse dreht k ^ von Ω Dann ω → = Ω k ^ und der Drehimpulsvektor ist

L → = ICH ω →

Jetzt wollen Sie die Koordinaten so ändern k ^ ⋆ = R k ^ Wo R ist eine 3x3 Rotationsmatrix. Um die obige Beziehung aufrechtzuerhalten, benötigen Sie

ω → ⋆ = R ω →
L → ⋆ = R L → = R ICH ω → = ( R ICH R ⊤ ) ω → ⋆ = ICH ⋆ ω → ⋆
ICH ⋆ = R ICH R ⊤

Das ist wieder die kongruente Transformation. Um also die Trägheit an einer anderen Achse zu definieren, müssen Sie die Komponenten wie oben gezeigt transformieren, um die Newtonschen Gesetze intakt zu halten.

Ich bin nicht so vertraut mit Tensormathematik. Diesen Zweifel hatte ich aufgrund einer Lösung meines Professors zur Berechnung der Trägheit eines Würfels um die Körperdiagonale. Was er tat, war davon auszugehen, dass der Würfel einen hatte ω → über die Körperdiagonale. Der Drehimpulsvektor ist also ICH D ω → , die über die drei Kanten des Würfels als in drei Komponenten zerlegt werden kann ICH D ω → = ICH e ω 3 ich ^ + ICH e ω 3 J ^ + ICH e ω 3 k ^ . Dann setzte er die Module gleich und sagte ICH D = ICH e . Ist das eine richtige Methode?
Ich bekomme die gleiche Antwort mit der Integration, also dachte ich, das könnte richtig sein.
konzeptioneller Zweifel an der Methode, um das Trägheitsmoment um eine Achse zu finden
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