Drehimpuls der Verwirrung der Blitzkugel

Question

Drehimpuls der Verwirrung der Blitzkugel

Physik
Drehimpuls
Trägheitsmoment
Starrkörperdynamik
Rotationsdynamik
Rotationskinematik

Nakshatra Gangopadhay

Ich habe über den Drehimpuls starrer Körper gelesen und bin auf folgendes Problem gestoßen.

Stellen Sie sich vor, eine feste Kugel rollt über eine schiefe Ebene, ohne zu rutschen, und ich habe versucht, den Drehimpuls dieses Körpers zu finden.

Ich habe folgende Formel gefunden: $L = I\omega + mvr = \frac{7}{5}mvr$

Es ist offensichtlich, dass der erste Term der Drehimpuls ist, der auf die Drehung des Körpers um seine Mittelachse zurückzuführen ist. Aber woher kommt der zweite Term? Es scheint dem Bahndrehimpuls eines Punktteilchens um ein Baryzentrum ähnlich zu sein. Allerdings ist die Kugel hier nicht nur ein Punktteilchen, sondern sie befindet sich auch in keiner Umlaufbahn. Die Bewegung besteht aus dem Rollen um seine Achse und der linearen Bewegung seines Massenschwerpunkts. Der Massenmittelpunkt dreht sich jedoch um keinen Punkt, also warum ist das so? $mvr$ Komponente kommt aus.

Darüber hinaus, $r$ bezieht sich auf den Radius der Kugel. Somit, $mvr$ muss das Trägheitsmoment eines punktförmigen Masseteilchens sein $m$ umkreist den Mittelpunkt der Kugel, während sie nach unten rollt. Wenn das der Fall ist, haben wir uns nicht bereits darum gekümmert $I\omega$ ?

Warum betrachten wir die Drehung der gesamten Kugel um ihre Achse und die Drehung eines Massenpunkts? $m$ um den Mittelpunkt der Kugel getrennt und dann über sie summiert?

Jede intuitive Erklärung dessen, was genau funktioniert $mvr$ repräsentieren würde sehr geschätzt werden.

Ich habe die Ableitung für den Drehimpuls durchgeführt, und die beiden Terme tauchten auf. Aber hängt der Drehimpuls nicht immer mit der Rotation zusammen? Der Begriff $mvr$ wird als translatorischer Drehimpuls geschrieben. Allerdings scheint mir dieser Name etwas widersprüchlich zu sein. Wie kann reine Translation mit Rotation in Beziehung gesetzt werden - es sei denn, wir behaupten, dass Rotation immer mit Drehimpuls zusammenhängt, Drehimpuls aber nicht immer Rotation bedeutet, wie in diesem Fall? Ist dieser Anspruch berechtigt? Wenn nicht, kann mir jemand die physikalische Intuition erklären oder mir helfen, die Idee des translatorischen Drehimpulses zu visualisieren.

Versuchen Sie es mit der Freiheit

Konsultieren Sie Kleppner und Kolenkow: Eine Einführung in die Mechanik. Es ist viel besser, als alle zwei Wochen eine existenzielle Krise zu haben und sich zu fragen, wie all die Formeln in der Mechanik entstanden sind.

Evan

Die Frage "Was ist der Drehimpuls des Körpers?" macht keinen Sinn. Sie müssen fragen: "Was ist der Drehimpuls des Körpers um den X-Punkt?" Denken Sie daran, dass der Drehimpuls nur das Moment des linearen Impulses aller materiellen Punkte im Körper aufsummiert ist. Dieser Moment des linearen Impulses liegt an einem Punkt, vielleicht am Schwerpunkt, vielleicht an einem Fixpunkt, vielleicht an einem Beschleunigungspunkt. Stellen Sie sich eine Kiste vor, die in reiner Übersetzung über einen Tisch gleitet. Wussten Sie, dass diese Box einen Drehimpuls um einen Punkt auf der Tischoberfläche hat? Es hat keinen Drehimpuls um seinen Schwerpunkt.

Antworten (3)

Drehimpuls der Verwirrung der Blitzkugel

Konsultieren Sie Kleppner und Kolenkow: Eine Einführung in die Mechanik. Es ist viel besser, als alle zwei Wochen eine existenzielle Krise zu haben und sich zu fragen, wie all die Formeln in der Mechanik entstanden sind.
Die Frage "Was ist der Drehimpuls des Körpers?" macht keinen Sinn. Sie müssen fragen: "Was ist der Drehimpuls des Körpers um den X-Punkt?" Denken Sie daran, dass der Drehimpuls nur das Moment des linearen Impulses aller materiellen Punkte im Körper aufsummiert ist. Dieser Moment des linearen Impulses liegt an einem Punkt, vielleicht am Schwerpunkt, vielleicht an einem Fixpunkt, vielleicht an einem Beschleunigungspunkt. Stellen Sie sich eine Kiste vor, die in reiner Übersetzung über einen Tisch gleitet. Wussten Sie, dass diese Box einen Drehimpuls um einen Punkt auf der Tischoberfläche hat? Es hat keinen Drehimpuls um seinen Schwerpunkt.

Vinzenz Thacker · Answer 1

Die Formel, die Sie erwähnen, gilt für die allgemeine Bewegung eines Objekts, das sich sowohl dreht als auch verschiebt. Lassen $\mathbf{r}$ sei die Position eines Punktes im Objekt und $\mathbf{r}_{\text{CM}}$ sei die Position des Massenmittelpunkts des Objekts. Wir definieren den Vektor

R^{'} \equiv R - R_{CM}

$\mathbf{r}' \equiv \mathbf{r} - \mathbf{r}_{\text{CM}}$ die die Position eines Punktes relativ zum Massenmittelpunkt darstellt. Der Drehimpuls

L

$\mathbf{L}$ finden Sie unter

L = \int R \times D P = \int R \times \dot{R} D M = \int (R_{CM} + R^{'}) \times ({\dot{R}}_{CM} + {\dot{R}}^{'}) D M = \int R_{CM} \times {\dot{R}}_{CM} D M + \int R^{'} \times {\dot{R}}^{'} D M + \int R_{CM} \times {\dot{R}}^{'} D M + \int R^{'} \times {\dot{R}}_{CM} D M

$\mathbf{L} = \int \mathbf{r} \times \text{d}\mathbf{p} = \int \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} \text{d}m = \int \left(\mathbf{r}_{\text{CM}}+\mathbf{r}'\right) \times \left(\dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}}+\dot{\mathbf{r}}'\right) \text{d}m \\ = \int \mathbf{r}_{\text{CM}} \times \dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}} \text{d}m + \int \mathbf{r}' \times \dot{\mathbf{r}}'\text{d}m + \int \mathbf{r}_{\text{CM}} \times \dot{\mathbf{r}}'\text{d}m + \int \mathbf{r}' \times \dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}}\text{d}m$

Die letzten beiden Terme verschwinden durch die Definition des Massenschwerpunkts $\int \mathbf{r}' \text{d}m = 0$ , also haben wir

L = \int R_{CM} \times {\dot{R}}_{CM} D M + \int R^{'} \times {\dot{R}}^{'} D M = M R_{CM} \times {\dot{R}}_{CM} + \int R^{'} \times (ω \times R^{'}) D M = R_{CM} \times P_{CM} + ICH ω

$\mathbf{L} = \int \mathbf{r}_{\text{CM}} \times \dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}} \text{d}m + \int \mathbf{r}' \times \dot{\mathbf{r}}'\text{d}m \\ = m\mathbf{r}_{\text{CM}} \times \dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}} + \int \mathbf{r}' \times \left(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}'\right)\text{d}m \\ = \mathbf{r}_{\text{CM}} \times \mathbf{p}_{\text{CM}}+ I\boldsymbol{\omega}$

Der erste Begriff ist die $mvr$ das Sie erwähnen, was allgemein als "Orbital" -Drehimpuls bezeichnet wird. Der zweite Term repräsentiert die Drehung (Spin) des Körpers.

Der Punkt ist, dass der erste Begriff nur Sinn macht, wenn Sie einen Ursprung betrachten. In diesem Fall kann der Ursprung als ein beliebiger Punkt genommen werden, der auf der Oberfläche fixiert ist. Der Massenmittelpunkt bewegt sich dann in einer geraden Linie über der Oberfläche und parallel zu ihr. Sie können das überprüfen $\mathbf{r}_{\text{CM}} \times \mathbf{p}_{\text{CM}}$ ist konstant.

Der Körper muss den Ursprung nicht tatsächlich umkreisen. Solange Position und Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts nicht parallel sind, ist der erste Term ungleich Null. Es wird nur Null sein, wenn der Körper direkt auf den Ursprung zu oder von ihm weggeht. Mit anderen Worten, man kann sich vorstellen, wie sehr der Körper am Ursprung „vorübergeht“ oder „verfehlt“.

Hmm wie ist $\int r' \times( \omega \times r') dm = I \omega$ ? Das I im Sinne von OP, wo Trägheit ein Skalar ist, konnte nur gefunden werden, wenn $\omega \perp r'$
@Buraian $I$ soll der Trägheitstensor sein. Aber hier in 2D ist es ein Skalar (und so ist es auch $\omega$ ).

meine2cts · Answer 2

Die Verwirrung entsteht, weil die $r$ In $I\omega=\frac{2}{5}mvr$ ist der Abstand zum Mittelpunkt der Blitzkugel. Der $r$ im zweiten Semester $mvr$ ist der Abstand zu einem festen Ursprung, um den der Gesamtdrehimpuls definiert ist.

Gandalf73 · Answer 3

Der lineare Drehimpuls ist definiert als

\vec{L} = M (\vec{v} \times \vec{R}) = M v R_{⊥}

$\vec{L}=m(\vec{v}\times\vec{r})=mvr_{\perp}$ Jetzt die

r_{⊥}

$r_{\perp}$ ändert sich nicht, wenn sich der Körper bewegt, ja, der Winkel ändert sich, aber auch der Radius vom Ursprung, also kompensieren sie sich gegenseitig, indem sie den senkrechten Radius konstant halten, und im Falle einer Kugel ist dieser Radius der Radius der Kugel, die Sie bereitgestellt haben Behalten Sie Ihren Ursprung an der Basis der Oberfläche.

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