Hohlzylinder vs. Vollzylinder [geschlossen]

Die kurze Antwort lautet „Ja“.

Wie Sie sagen: "Wir wissen, dass Hohlzylinder langsamer sind als Vollzylinder, wenn sie eine schiefe Ebene hinunterrollen". Das heißt, ein massiver Zylinder rollt schneller die Rampe hinunter als ein hohler Stahlzylinder mit demselben Durchmesser (vorausgesetzt, er rollt reibungslos und nicht übereinander), da das Trägheitsmoment von der Massenverteilung mit der Masse abhängt die weiter von der Rotationsachse entfernt sind und mehr zum Trägheitsmoment beitragen als die näher an der Achse liegende Masse.

Aber das ist nur ein Teil dessen, was hier im Spiel ist. Hier haben wir die Dose, die rollt, und die Flüssigkeit, die im Grunde nur herunterfällt. Ich gehe davon aus, dass die Flüssigkeit eine Viskosität hat, die der von Wasser nahe kommt, da das Deodorant hauptsächlich aus Wasser besteht und wir durch einfaches Schütteln einer Dose feststellen können, dass es nicht besonders viskos ist - es zittert wie Wasser in einer Dose.

Ich habe gerade ein Experiment gemacht und zwei identische transparente Flaschen, eine leer, die andere etwa halb voll, eine etwa 15-Grad-Rampe hinuntergerollt. Die leere Flasche verhielt sich so, wie Sie es von einem leeren Zylinder erwarten würden, und rollte langsamer als die volle Flasche. Klar war auch, dass es bei einer dünnflüssigen Flüssigkeit wie Wasser nicht genug Reibung gibt, damit sich das Wasser in der Flasche „aufwirbelt“ – alles bleibt während der gesamten Reise auf der unteren Hälfte der Flasche, also das Wasser fügte dem Trägheitsmoment um die Flaschenachse nichts hinzu. Da das Wasser jedoch viel massiver als die Flasche ist, trug es viel mehr zur Beschleunigung bei als die Flasche selbst. Außerdem reichte die Reibung zwischen dem Wasser und der Flasche nicht aus, um einen großen Unterschied zu machen. Wäre die Flüssigkeit viel dicker gewesen, wäre das Ergebnis ganz anders, aber in diesem Fall

Für den letzten Teil Ihrer Frage zwingt die schiefe Ebene die Dose zum Drehen - wenn Sie sie einfach fallen lassen würden, würden Trägheitsmomente überhaupt nicht berücksichtigt, und die vollen und leeren Dosen würden sehr nahe an derselben fallen Rate. Je flacher die Rampe ist, desto mehr muss sich die Dose für einen bestimmten Höhenabfall drehen, und desto deutlicher ist der Unterschied zwischen einer Dose, deren Bewegung durch Drehimpuls dominiert wird (leere Dose), und einer anderen, deren Bewegung durch Linearität dominiert wird Schwung (volle Dose).

Dies hängt wirklich von ein paar verschiedenen Dingen ab, ob das Deodorant gasförmig oder fest ist, was Sie mit wahrnehmbar meinen und welche Art von Reibung vorhanden ist. Für den ersten Teil, wenn Sie ein festes Deodorant vergleichen, wird die feste Deodorantdose immer sqrt (3)/2 schneller sein als die leere Dose (ein einfaches Energieerhaltungsproblem).

Wenn es sich um ein Gas handelt, wird es komplizierter. Der Effekt wird viel weniger bemerkbar sein, da es schwieriger ist, eine Rotation zwischen dem Gas bis zu dem Punkt zu erzeugen, wenn Sie das Gas als ideales Gas betrachten, dann wird es fast keinen Unterschied geben.

Um diesen Effekt deutlicher zu machen, muss die Höhe erhöht werden, aus der die Dosen freigegeben werden. Dies bedeutet entweder eine Vergrößerung der Rampenlänge oder eine Vergrößerung des Winkels. Masse und Radius der Zylinder sollten keine Rolle spielen.

Wenn die Reibung nur ausreicht, damit die Zylinder rollen, ohne zu rutschen, dann ist alles, was ich oben gesagt habe, wahr, aber wenn Sie weniger Reibung haben, rutschen die Zylinder einfach die Rampe hinunter und haben die gleiche Geschwindigkeit. Wenn Sie mehr Reibung haben, haben Sie ein viel komplizierteres Problem.

Die Differenz wird als Massenträgheitsmoment bezeichnet . Für den allgemeinen Fall eines Zylinders mit Innen- und Außenwand lautet die Formel

Die beiden Extremfälle sind:

1. Vollzylinder -$r_O = R$,$r_I = 0$ $$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} R^2$$
2. Hohlzylinder -$r_O = R$,$r_I=R$ $$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} 2 R^2 = m R^2$$

Nehmen Sie nun einen Hohlzylinder und fügen Sie ein Gas (keine Flüssigkeit) hinzu, das sich mit dem Zylinder dreht (stationäre Lösung). Dann trägt das Gas zum Massenträgheitsmoment bei und verlangsamt den Zylinder (beschleunigt weniger) unter den gleichen Bedingungen .

Das gesamte MMOI ist:

Also in der Theorie ja, aber in der Realität seit$m_{\rm gas} \ll m_{\rm cyl}$du wirst keinen unterschied merken.