Koordinatensystem vs. Winkeleigenschaften vs. Schwerpunkt

Bitte helfen Sie mir, mein Verständnis in Bezug auf die Rotationsbewegung eines starren 3D-Körpers zu überprüfen, nachdem ich einige Physik-Lehrbücher gelesen und nach weiteren Materialien gegoogelt habe (z. B. Wikipedias Drehmoment , Wikipedias Trägheitsmoment ).

Die folgenden Punkte sind anhand einer Situation zu prüfen, in der die Rotationsbewegung eines starren 3D-Körpers um eine einzelne Rotationsachse in einem kartesischen Trägheitskoordinatensystem erfolgt, in dem die z-Achse als Rotationsachse, aber als Ursprung angenommen wird Ö des Koordinatensystems liegt nicht unbedingt auf dem Schwerpunkt des 3D-Starrkörpers und kann sogar außerhalb des 3D-Starrkörpers liegen:

  1. Jedes Teilchen im starren Körper hat v → = ω → × R → Wo R → ist der Positionsvektor des Teilchens in Bezug auf den Ursprung Ö , und daher hängt die Geschwindigkeit jedes Teilchens von der Wahl des Ursprungs ab Ö .
  2. Gegenüber Ö , das Moment der Kraft τ → und die Drehimpulsänderung D L → um die z-Achse haben die gleichen Richtungen.
  3. Gegenüber Ö , die Winkelbeschleunigung a → und die Winkelgeschwindigkeitsänderung D ω → um die z-Achse haben die gleichen Richtungen.
  4. Trägheitsmoment ICH wird immer in Bezug auf die z-Achse berechnet, nicht auf den Schwerpunkt des starren Körpers, so dass die S In ∫ S 2 D M ist immer der Abstand zwischen einem Massenpunkt im starren Körper und der z-Achse.
  5. Drehimpuls jedes Teilchens im starren Körper L → = R → × P → Wo R → ist der Positionsvektor von P → in Bezug auf die Herkunft Ö (dh, | | R → | | ist nicht der Abstand zwischen P → und z-Achse) und damit die Richtung von L → kann sich von unterscheiden ω → .
  6. Der Gesamtdrehimpuls des starren Körpers ist dann ∑ L → = ICH ω → , und damit die Richtung von ∑ L → ist das gleiche wie ω → .
  7. Das Drehmoment, das jedes Teilchen im starren Körper erfährt τ → = R → × F → Wo R → ist der Positionsvektor von F → in Bezug auf die Herkunft Ö (dh, | | R → | | ist nicht der Abstand zwischen F → und z-Achse) und damit die Richtung von τ → kann sich von unterscheiden ω → .
  8. Das Gesamtdrehmoment, das der starre Körper erfährt, ist dann ∑ τ → = ICH a → , und damit die Richtung von ∑ τ → ist das gleiche wie a → .
  9. Das Drehmoment, das jedes Teilchen in dem starren Körper erfährt, hängt mit der Änderungsrate des Drehimpulses jedes Teilchens zusammen R → × F → = τ → = D L → D T = D ( R → × P → ) D T = M D ( R → × v → ) D T = M D ( R → × ( ω → × R → ) ) D T = M D ( ( R → ⋅ R → ) ω → − ( R → ⋅ ω → ) R → ) D T , und daher für jedes Teilchen die Richtungen von τ → Und D L → sind gleich, können sich aber von der Richtung unterscheiden ω → .
  10. Das vom starren Körper erfahrene Gesamtdrehmoment hängt mit der Änderungsrate des Gesamtdrehimpulses zusammen ICH a → = ∑ τ → = D ( ∑ L → ) D T = D ( ∑ ICH ω → ) D T = ∑ ICH D ω → D T , und daher die Richtungen von a → , ∑ τ → , ∑ D L → , Und D ω → sind gleich.

Jeder Fehler? Da die Rotationsachse außerhalb des 3D-Starrkörpers liegen kann, fühle ich mich insbesondere bei den Punkten 5 bis 10 unwohl.

Es scheint sinnvoller zu sein, mit "Kraftmoment" anstelle von "Drehmoment" zu googeln. Ich habe diese Folie von PSU gefunden , die das sagt τ wird berechnet, indem alle Kräfte auf die Ebene senkrecht zur Rotationsachse projiziert werden. Das wird meiner Meinung nach auch in einführenden Lehrbüchern der Physik nachdrücklich empfohlen, obwohl ich keine explizite Aussage wie die auf der Folie gefunden habe. Ich frage mich, warum das so ist.
Was ich in den einführenden Lehrbüchern der Physik gefunden habe, entspricht immer der Linie dieser Vorlesungsunterlagen der University of Rochester : sie definieren τ → = R → × F → auf einem Partikel auf einer Ebene und diskutieren dann starre 3D-Körper wie einen Zylinder, ohne explizit zu beschreiben, wie R → bedeutet jetzt in Bezug auf den Ursprung Ö Nun, da sich einige Teilchen in den starren Körpern auf Ebenen befinden, die den Ursprung nicht enthalten Ö .

Antworten (1)

  1. Überprüfen Sie ✓, außer dass die Geschwindigkeit vom Rotationszentrum abhängt, nicht von der Wahl des Ursprungs. Die allgemeine Regel ist, dass wenn der Ursprung als Geschwindigkeit gilt v → Ö dann befindet sich ein Punkt A an R → A Geschwindigkeit hat v → A = v → Ö + ω → × R → A . Es ist ein Zufall, dass sich Ihr Ursprung nicht bewegt.
  2. Überprüfen Sie ✓. Im Allgemeinen werden Drehmomente und Drehimpulse miteinander in Beziehung gesetzt ∑ τ → A = D D T L → A wobei A ein beliebiger Punkt auf dem rotierenden Rahmen ist.
  3. Überprüfen Sie ✓. Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung werden von allen Punkten geteilt, die an dem rotierenden Rahmen befestigt sind. Die Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit D D T ω → = a → .
  4. Falsches ×. Massenträgheitsmoment ICH ist ein Tensor aus 6 Werten, dargestellt durch eine 3×3-Matrix
    ICH = ( ICH X X ICH X j ICH X z ICH X j ICH j j ICH j z ICH X z ICH j z ICH z z )
    Einige Bücher haben die Kreuzbegriffe negativ und einige positiv. Es gibt keine Konvention darüber, was positiv ist ICH X j = ∫ X j D M oder ICH X j = ∫ − X j D M ( Referenz 1 ). Typischerweise wird dieser Tensor (MMOI) zuerst am Massenmittelpunkt entlang körperfester Koordinaten beschrieben. So ICH B Ö D j ist konstant. Wenn sich der Körper dreht, hat er eine 3 × 3-Rotationsmatrix R so liegt der MMOI-Tensor in festen Koordinaten im Massenmittelpunkt
    ICH C = R ICH B Ö D j R ⊤
    mit ⊤ der Matrixtranspositionsoperator. Um den MMOI-Tensor an eine andere Stelle zu verschieben, z. B. dorthin, wo sich das Rotationszentrum (oder der Ursprung) befindet, muss man das Parallelachsentheorem anwenden. Dies ist damit erledigt
    ICH Ö = ICH C − M [ R → C ] [ R → C ]
    wo [vector]ist der symmetrische 3×3-Kreuzproduktoperator ( Ref. 2 ) und R → C ist die Position des Massenmittelpunkts relativ zu O in festen Koordinaten.
  5. Falsches ×. Der Drehimpuls an jedem Punkt außerhalb des Massenmittelpunkts hat zwei Komponenten. Einer ist der Eigenimpuls im Massenmittelpunkt ICH C ω → und das zweite das Moment des linearen Impulses R → C × M v → C Wo v → C ist die lineare Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts.
    L → Ö = ICH C ω → + R → C × M v → C = ICH C ω → + R → C × M ( v → Ö + ω → × R → C ) = ( ICH C ω → − M R → C × R → C × ω → ) + R → C × M v → Ö = ICH Ö ω → + R → C × M v → Ö
    Sehen Sie, wie der Parallelachsensatz aus den Drehimpulstransformationsgesetzen abgeleitet wird?
  6. Falsches ×. Denn MMOI ist ein Tensor und kein Skalar der Richtung L → ist im Allgemeinen nicht dasselbe wie ω → .
  7. Überprüfen Sie ✓. Das Drehmoment ist ein Vektorfeld (je nach Ort unterschiedlich) mit dem allgemeinen Gesetz von
    τ → Ö = τ → A + R → A × F →
    Dies ist dual zum Geschwindigkeitstransformationsgesetz (oben zu 1.), wenn es wie umgestellt wird τ → A = τ → Ö + F → × R → A . Die Richtung von τ → (am Ursprung?) unterscheidet sich von ω → Weil ICH C nicht konstant ist (siehe unten).
  8. Die allgemeinen Bewegungsgleichungen sind
    ∑ F → = D D T P → = M D D T v → C = M A → C ∑ τ → C = D D T L C = ICH C D D T ω → + D D T ( ICH C ) ω → = ICH C a → + ω → × ICH C ω →
    immer im Massenmittelpunkt ausgedrückt ( Ref. 3 ). Verwenden Sie dann die Transformationsgesetze, um das Drehmoment zu verschieben (wie zu wissen, dass die Drehmomentkomponente entlang der Rotationsachse Null ist). In Ihrem Fall z ^ ⊤ τ → Ö = 0 Und τ → Ö = ∑ τ → C + R → C × ∑ F → .
  9. Sie müssen den Rest aus den oben angegebenen Informationen nacharbeiten.
Siehe verwandten Beitrag physical.stackexchange.com/a/95542/392 , wenn Sie an dem Thema interessiert sind.
Vielen Dank für Ihre Hilfe! Ich brauche es wirklich. Einführende Physik-Lehrbücher vereinfachen also die Dinge in ihren Diskussionen und Übungen, indem sie immer eine Rotationsachse wählen, die durch den Massenmittelpunkt eines starren 3D-Körpers geht?
Ja, 3D-Dynamik und -Kinematik sind einfach, wenn Sie alle Ihre Enten in einer Reihe bekommen, aber es gibt eine Menge Enten zu berücksichtigen.
Koordinatensystem vs. Winkeleigenschaften vs. Schwerpunkt
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