Problem der augenblicklichen Rotation

Question

Problem der augenblicklichen Rotation

Physik
Rotationsdynamik
Newtonsche-mechanik
Starrkörperdynamik

user118899

Gibt es für jede Art von Bewegung oder nur für Fälle von Rollen einen Punkt des Zentrums der momentanen Rotation ( CIR )?

Carl Witthoft

Was denkst du und warum?

ja72

In Verbindung stehender Beitrag: physics.stackexchange.com/a/88597/392

ja72

In der Ebene gibt es einen Punkt und in 3D gibt es eine Schraubenachse (siehe Antwort unten). Der Punkt in 2D ist der Punkt, an dem die 3D-Schraubenachse die Bewegungsebene schneidet. Sie können zu allen planaren Beziehungen gelangen, indem Sie das 3D-Problem auf eine Ebene projizieren.

Antworten (4)

Problem der augenblicklichen Rotation

In Verbindung stehender Beitrag: physics.stackexchange.com/a/88597/392
In der Ebene gibt es einen Punkt und in 3D gibt es eine Schraubenachse (siehe Antwort unten). Der Punkt in 2D ist der Punkt, an dem die 3D-Schraubenachse die Bewegungsebene schneidet. Sie können zu allen planaren Beziehungen gelangen, indem Sie das 3D-Problem auf eine Ebene projizieren.

ja72 · Answer 1

Für einen starren 3D-Körper gibt es immer eine sofortige Schraubenachse. Diese besteht aus einer 3D-Linie (mit Richtung) und einer Tonhöhe. Die Teilung beschreibt, wie viel parallele Translation für jede Drehung des starren Körpers auftritt. Eine reine Rotation hat eine Tonhöhe von Null, während eine reine Translation eine unendliche Tonhöhe hat. (3D Kinematics Ref. Html , Präsentation der Universität von Pennsylvania ppt , Wiki zur Schraubentheorie)

Schraubeneigenschaften

Bei einem sich bewegenden starren Körper befindet sich ein Punkt A. ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{EIN}$ zu einem bestimmten Zeitpunkt hat Lineargeschwindigkeitsvektor am gleichen Punkt ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{EIN}$ und Winkelgeschwindigkeit $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ .
Die Schraubenbewegungsachse hat die Richtung $\vec{e} = \frac{\vec{ω}}{| \vec{ω} |}$
Die Position der Schraubenbewegungsachse, die A am nächsten liegt, ist ${\vec{r}}_{S.} = {\vec{r}}_{EIN} + \frac{\vec{ω} \times {\vec{v}}_{EIN}}{| \vec{ω} |^{2}}$
Die Schraubenbewegungsneigung beträgt $h = \frac{\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{EIN}}{| \vec{ω} |^{2}}$

wo $\times$ $\times$ $\times$ ist das Kreuzprodukt und $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ ist das Punktprodukt (Skalarprodukt).

Beweis

Bildpunkt S mit linearer Geschwindigkeit ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S.}$ nicht unbedingt parallel zur Rotationsachse $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ . Rückwärts arbeitend (von S nach A ) ist die Lineargeschwindigkeit eines beliebigen Punktes A auf dem starren Körper

{\vec{v}}_{EIN} = {\vec{v}}_{S.} + \vec{ω} \times ({\vec{r}}_{EIN} - - {\vec{r}}_{S.})

Dies wird in der Positionsgleichung der Schraubenachse verwendet $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S.} - - {\vec{r}}_{EIN}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{EIN}$ (von oben) als

| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S.} - - {\vec{r}}_{EIN}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{S.} - - \vec{ω} \times \vec{ω} \times ({\vec{r}}_{S.} - - {\vec{r}}_{EIN})

welches unter Verwendung des Vektor-Tripelprodukts als erweitert wird

| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S.} - - {\vec{r}}_{EIN}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{S.} - - \vec{ω} (\vec{ω} \cdot ({\vec{r}}_{S.} - - {\vec{r}}_{EIN})) + | \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S.} - - {\vec{r}}_{EIN})

\vec{ω} \times {\vec{v}}_{S.} = \vec{ω} (\vec{ω} \cdot ({\vec{r}}_{S.} - - {\vec{r}}_{EIN})) = 0

da die rechte Seite immer parallel zu ist $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ und die linke Seite ist immer senkrecht zu $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ . Die einzige Lösung für das Obige ist die Geschwindigkeit an der Schraubenachse S , die parallel zur Drehung ist

{\vec{v}}_{S.} = h \vec{ω}

und die Geschwindigkeit bei A wird

{\vec{v}}_{EIN} = h \vec{ω} + \vec{ω} \times ({\vec{r}}_{EIN} - - {\vec{r}}_{S.})

Mike Dunlavey · Answer 2

Ich nehme an, Sie sprechen von einem starren Körper, der sich in einer Ebene bewegt.

Betrachten Sie zwei verschiedene Punkte auf dem Körper, A und B. Zu jedem Zeitpunkt hat jeder einen Geschwindigkeitsvektor $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{EIN}}$ und $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B.}}$ (vorausgesetzt, keiner ist selbst das Zentrum).

Betrachten Sie die Linie normal zu $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{EIN}}$ , nennen $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{EIN}$ , und ebenso $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B.}$ .

Wo sich diese beiden Linien schneiden, ist das Momentanzentrum. Wenn die beiden Linien parallel sind, ist die Bewegung eine reine Übersetzung.

Wenn Sie es auf 3 Dimensionen erweitern möchten, $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{EIN}$ und $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B.}$ sind Flugzeuge normal zu $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{EIN}}$ und $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B.}}$ . Wo sie sich schneiden, ist eine Linie, eine "Achse", wenn Sie möchten.

Ich war verwirrt darüber, warum im Falle einer Rollbewegung die "momentane Rotationsachse" (IAR) eingeführt wurde. Warum konnten wir nicht einfach die Achse durch den Schwerpunkt verwenden? Gesucht nach (1) was IAR tatsächlich ist, (2) sollte es immer Null sein (im Fall einer Rollbewegung auf einer Oberfläche), und (3) kann es eine andere solche Achse geben als den Kontaktpunkt zwischen der Oberfläche und das Objekt, für das die Antworten mathematisch waren, also konnte ich das nicht bekommen. Könnten Sie mir dabei helfen? Ich habe die Frage nicht separat gestellt, da sie wahrscheinlich als Duplikat geschlossen wird.
Nun, ich weiß, was IAR ist und basierend auf Ihrer Antwort kann die dritte Frage beantwortet werden. Für ein Objekt, das auf einer Oberfläche rollt, ist es die einzige momentane Rotationsachse, und ich denke, für jeden Moment ist es in Ruhe. Habe ich recht?
@suiz: Ich bin nicht sicher, ob ich Ihre Frage (n) verstanden habe, aber das einfachste Beispiel ist ein Rad, das sich auf einer Straße dreht. Angenommen, Sie machen ein Foto mit sehr kurzer Belichtung, aber nicht sofort. In dieser kurzen Belichtungszeit zeichnet jeder Punkt auf dem Rad eine Kreisbahn um den Punkt des Rollkontakts. Manchmal sind diese Dinge schwer zu verstehen, wenn Sie die Analysis noch nicht gelernt haben, weil Sie in der Analysis mit infinitesimalen Größen arbeiten - Größen, die so klein wie möglich sind, ohne Null zu sein.

Valter Moretti · Answer 3

Momentane Rotationsachsen erscheinen nur, wenn sie die Bewegung starrer fester Körper untersuchen .

Betrachten Sie einen starren festen Körper $B$ $B$ $B.$ Bewegen in den drei Raum. Legen Sie einen Punkt fest, um die Bewegung zu untersuchen $O \in B$ $O \in B$ $Ö \in B.$ und ein Dreifach orthonormaler Achsen $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ , $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ , $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ in Ruhe mit $B$ $B$ $B.$ zentriert bei $O$ $O$ $Ö$ .

Wir können nun die Bewegung von beschreiben $B$ $B$ $B.$ in Bezug auf ein festes orthonormales Dreifach von Achsen $e_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ , $e_{2}$ $e_{2}$ $e_{2}$ $e_{2}$ $e_{2}$ , $e_{3}$ $e_{3}$ $e_{3}$ $e_{3}$ $e_{3}$ .

Wenn $P \in B$ $P \in B$ $P \in B$ $P \in B$ $P. \in B.$ ist ein Materieteilchen von $B$ $B$ $B.$ bestimmt durch $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P.} = \sum_{ich = 1}^{3} x_{P. ich} k_{ich}$ , und diese Komponenten ändern sich nicht zeitlich, nur weil $B$ $B$ $B.$ ist ein starrer Körper, seine Position $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P.} (t)$ im Raum ist gegeben durch: $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P.} (t) = y_{Ö} (t) + x_{P.}$ das heißt, in Komponenten:

y_{P. ich} (t) = y_{Ö ich} (t) + \sum_{j = 1}^{n} {R.}_{ich j} (t) x_{P. j} (1)

wo

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{ich = 1}^{3} {R.}_{ich j} (t) e_{ich}

und

R (t) \in O (3)

R (t) \in O (3)

R. (t) \in Ö (3)

ist eine gegebene Drehung.

Betrachten Sie nun die $t$ $t$ $t$ -derivativ für $t = 0$ $t = 0$ $t = 0$ , wann $k \equiv e_{i}$ $k \equiv e_{i}$ $k \equiv e_{i}$ $k \equiv e_{i}$ $k \equiv e_{ich}$ von (1). Wir können den Moment willkürlich festlegen $t = 0$ $t = 0$ $t = 0$ Ändern Sie den Ursprung der Zeit, damit dieser Wert keine grundlegende Rolle spielt, und wir können das Tripel von neu definieren $e_{i}$ $e_{i}$ $e_{i}$ $e_{i}$ $e_{ich}$ damit das $k (0) \equiv e_{i}$ $k (0) \equiv e_{i}$ $k (0) \equiv e_{i}$ $k (0) \equiv e_{i}$ $k (0) \equiv e_{ich}$ gilt für $i = 1, 2, 3$ $i = 1, 2, 3$ $ich = 1, 2, 3$ .

\frac{d y_{P. ich}}{d t} |_{t = 0} = \frac{d y_{Ö ich}}{d t} |_{t = 0} + \sum_{j = 1}^{n} \frac{d {R.}_{ich j}}{d t} |_{t = 0} x_{P. j} (2) .

Diese Identität kann verwendet werden, um die erste Annäherung der Bewegung des Körpers zu untersuchen $B$ $B$ $B.$ in einer Nachbarschaft von $t = 0$ $t = 0$ $t = 0$ ::

y_{P. ich} (t) = y_{P. ich} (0) + \frac{d y_{P. ich}}{d t} |_{t = 0} t + Ö (t^{2})

so dass, ausnutzen (2):

y_{P. ich} (t) = y_{P. ich} (0) + \frac{d y_{Ö ich}}{d t} |_{t = 0} t + \sum_{j = 1}^{n} \frac{d {R.}_{ich j}}{d t} |_{t = 0} x_{P. j} t + Ö (t^{2}) (3) .

Verwendung der Lie-Gruppenstruktur von $O (3)$ $O (3)$ $Ö (3)$ (oder auch durch direkte Inspektion) kann nachgewiesen werden, dass als $R (0) = I$ $R (0) = I$ $R. (0) = ich$ existiert ein Vektor $ω (0)$ $ω (0)$ $ω (0)$ so dass ( $^{*}$ $^{*}$ $^{*}$ $^{*}$ ):

\frac{d R.}{d t} |_{t = 0} = ω (0) \times (4) .

Abschließend wird bewertet (1) für

t = 0

t = 0

t = 0

wir finden

y_{P.} (0) = y_{Ö} (0) + x_{P.} (0) (5)

wobei alle Vektoren gleichgültig auf die Basis der zerlegt werden

e_{i}

e_{i}

e_{i}

e_{i}

e_{ich}

s oder das von

k_{i}

k_{i}

k_{i}

k_{i}

k_{ich}

s, nur weil sie zusammenfallen für

t = 0

t = 0

t = 0

. Durch Einfügen von (4) und (5) in (3) erreichen wir schließlich:

y_{P.} (t) = y_{P.} (0) + v_{Ö} (0) t + ω (0) \times y_{p} (0) t + Ö (t^{2}) (6)

wo natürlich $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{Ö} (t) : = \sum_{ich} \frac{d y_{Ö ich}}{d t} |_{t = 0} e_{ich}$ .

Für einen allgemeinen Augenblick $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ , definieren $Δ t = t - t_{0}$ $Δ t = t - t_{0}$ $Δ t = t - t_{0}$ $Δ t = t - t_{0}$ $Δ t = t - - t_{0}$ wir würden in ähnlicher Weise erhalten:

y_{P.} (t) = y_{P.} (t_{0}) + v_{Ö} (t_{0}) Δ t + ω (t_{0}) \times (y_{P.} (t_{0}) - - y_{Ö} (0)) Δ t + Ö (Δ t^{2}) (7)

Gleichung (7) sagt, dass in der Nachbarschaft jedes Augenblicks ( $t = t_{0}$ $t = t_{0}$ $t = t_{0}$ $t = t_{0}$ $t = t_{0}$ in unserem Fall) die Bewegung von $B$ $B$ $B.$ ist die Überlagerung einer räumlichen Übersetzung entlang $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{Ö} (t_{0})$ und eine Drehung um den Einheitsvektor parallel zu $ω (t)$ $ω (t)$ $ω (t)$ durch das augenblickliche Zentrum gehen $O (t)$ $O (t)$ $Ö (t)$ . Die Achse ist per Definition die Momentanrotationsachse .

Verwenden Sie (7), das für jede Auswahl von gültig ist $O$ $O$ $Ö$ Wenn die Bewegung nicht rein übersetzt ist, können wir uns immer ändern $O$ $O$ $Ö$ damit das zur interessanten zeit $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{Ö} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ damit $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{Ö} (t_{0})$ und $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ sind parallel. Beachten Sie, dass die neue $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $Ö (t_{0})$ ist im Allgemeinen kein Punkt von $B$ $B$ $B.$ aber ein geometrischer Punkt im Raum. In diesem Fall reduziert sich (7) auf eine reine Drehbewegung um $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $Ö (t_{0})$ plus eine Verschiebung entlang der Rotationsachse (in einer Nachbarschaft des betrachteten Zeitpunkts). Dieser Punkt $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $Ö (t_{0})$ ist ein Momentanrotationszentrum . Tatsächlich gibt es eine ganze Achse mit derselben Eigenschaft: die Achse, die für das Gefundene gilt $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $Ö (t_{0})$ entlang gerichtet $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ .

Fußnoten.

$(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ Wie $t \mapsto R (t) \in O (3)$ $t \mapsto R (t) \in O (3)$ $t \mapsto R. (t) \in Ö (3)$ und $R (0) = I$ $R (0) = I$ $R. (0) = ich$ , dann $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R. /. d t |_{t = 0}$ ist ein Element der Lie-Algebra von $O (3)$ $O (3)$ $Ö (3)$ . Die Lügenalgebra von $O (3)$ $O (3)$ $Ö (3)$ besteht aus allen echten antisymmetrischen $3 \times 3$ $3 \times 3$ $3 \times 3$ Matrizen. Wenn $A$ $A$ $EIN$ Ist eine solche Matrix, entsteht sofort, dass es einen Vektor gibt $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{EIN}$ so dass $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $EIN u = ω_{EIN} \times u$ für alle Vektoren $u$ $u$ $u$ .

Sie haben die Verwendung der Lie-Gruppenstruktur von erwähnt $O (3)$ $O (3)$ $Ö (3)$ Könnten Sie bitte diesen subtilen Punkt näher erläutern? Weil diese Aussage wirklich der Kern Ihres Beweises war.
Die Lügenalgebra von $O (n)$ $O (n)$ $Ö (n)$ besteht aus allen antisymmetrischen $n \times n$ $n \times n$ $n \times n$ Matrizen (dies kann leicht bewiesen werden). Zum $n = 3$ $n = 3$ $n = 3$ eine antisymmetrische Matrix $A$ $A$ $EIN$ ist immer von der Form $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{EIN} \times$ für einen Vektor $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{EIN}$ .
Wie $t \mapsto R (t) \in O (3)$ $t \mapsto R (t) \in O (3)$ $t \mapsto R. (t) \in Ö (3)$ und $R (0) = I$ $R (0) = I$ $R. (0) = ich$ , $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R. /. d t |_{t = 0}$ ist ein Element der Lie-Algebra von $O (3)$ $O (3)$ $Ö (3)$ .

Sandesh Kalantre · Answer 4

Die Tatsache, die Sie angeben, ist in der Tat recht allgemein und erstreckt sich in verwandter Form sogar auf drei Dimensionen.

Es ist als Chasles-Rotationssatz bekannt: Jede allgemeine Verschiebung eines starren Körpers kann durch eine Translation plus eine Rotation dargestellt werden.

Im Falle der Bewegung eines Körpers in einer Ebene schneidet die Achse die gegebene Ebene in einem Punkt, den wir als augenblickliches Rotationszentrum bezeichnen können. Selbst wenn sich das Rotationszentrum nicht schneidet, sagen wir, dass das Rotationszentrum im Unendlichen liegt .

Ja, jede Bewegung eines Körpers in einer Ebene hat eine momentane Rotationsachse.

Eigentlich heißt der Satz von Chasles: en.wikipedia.org/wiki/Chasles%27_theorem

Problem der augenblicklichen Rotation

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