Warum wird bei einer Starrkörperbewegung um die zzz-Achse die Dynamik von LxLxL_x, LyLyL_y nicht berücksichtigt?

Question

Warum wird bei einer Starrkörperbewegung um die zzz-Achse die Dynamik von LxLxL_x, LyLyL_y nicht berücksichtigt?

Erstarrung

Stellen Sie sich einen nicht ebenen starren Körper vor , der sich um eine feste Achse dreht (z. B. die vertikal gewählte Z-Achse). Lassen Sie den Ursprung $O$ irgendwo auf der Z-Achse gewählt wird. Lassen $\textbf{r}_i$ stellen den Positionsvektor der dar $i^{th}$ Partikel des starren Körpers. Dann ist per Definition der Drehimpuls des Körpers etwa $O$ wird von gegeben

L = \sum_{ich} M_{ich} R_{ich} \times (\vec{ω} \times R_{ich}) = \sum_{ich} M_{ich} [R_{ich}^{2} \vec{ω} - (R_{ich} \cdot \vec{ω}) R_{ich}] .

$\textbf{L}=\sum\limits_{i}m_i\textbf{r}_i\times(\vec{\omega}\times\textbf{r}_i)=\sum\limits_{i}m_i[r_i^2\vec{\omega}-(\textbf{r}_i\cdot\vec{\omega})\textbf{r}_i].$ Seit

\vec{ω} = ω \hat{k},

$\vec{\omega}=\omega \hat{k},$

L = \sum_{ich} M_{ich} ω [- (z_{ich} X_{ich}) \hat{ich} + (- z_{ich} j_{ich}) \hat{J} + (X_{ich}^{2} + j_{ich}^{2}) \hat{k}] .

$\textbf{L}=\sum\limits_{i}m_i\omega[-(z_ix_i)\hat{i}+(-z_iy_i)\hat{j}+(x_i^2+y_i^2)\hat{k}].$ Die Z-Komponente des Drehimpulses ist

L_{z} = \sum_{i} m_{i} d_{i}^{2} ω = I ω

$L_z=\sum\limits_{i}m_id_i^2\omega=I\omega$ wird in der Regel mit besonderer Bedeutung behandelt (auch to

τ_{z} = \frac{d L_{z}}{d t} = I \dot{ω}

$\tau_z=\frac{dL_z}{dt}=I\dot{\omega}$ ).

Warum ist die Dynamik der anderen Komponenten, $L_x$ Und $L_y$ , nicht berücksichtigt (in Lehrbüchern auf Schulebene wie Halliday, Resnick und Walker), obwohl sie ungleich Null sind, und sich ändern können, wenn eine Kraft besteht $\textbf{F}$ in beliebiger Richtung aufgebracht wird (weil das Drehmoment $\vec{\tau}=\textbf{r}\times\textbf{F}$ werden im Allgemeinen alle Komponenten ungleich Null haben)?

Aaron

Wahrscheinlich, weil sie keine Drehmomente aufbringen, die nicht in der sind

z

$z$ Richtung, also ist es auf pädagogischer Ebene irrelevant

Benutzer167453

Sollten Sie vielleicht betonen, dass Sie von einem zufällig klumpigen Objekt sprechen, da wir alle mit einer Vorliebe für symmetrische Situationen beim Physiklernen aufgewachsen sind? Außerdem gehen sie in HRW und dergleichen nicht näher auf Details ein, die Ihr Beitrag veranschaulicht, wenn sie glauben, dass sie ihren Standpunkt klar gemacht haben und dass die Prüfungsfragen vereinfacht werden.

Erstarrung

Ich muss nur betonen, dass ich von einem dreidimensionalen Objekt spreche.

Aaron

Ah sorry, ich war verwirrt und nahm an, dass du das gewählt hast

z

$z$ Achse als Symmetrieachse oder entlang eines Eigenvektors des Trägheitstensors. Können Sie genauer sagen, was genau Sie mit "die Dynamik der anderen Komponenten werden nicht berücksichtigt" meinen?

Erstarrung

@Aaron Was ist mit den Gleichungen

τ_{x} = I_{x z} \dot{ω} - I_{y z} ω^{2}

$\tau_x=I_{xz}\dot{\omega}-I_{yz}\omega^2$ Und

τ_{y} = I_{y z} \dot{ω} + I_{x z} ω^{2}

$\tau_y=I_{yz}\dot{\omega}+I_{xz}\omega^2$ die durch Ableitung von erhalten werden

L

$\textbf{L}$ wrt Zeit t.

Aaron

Ohne Ihr spezifisches Lehrbuch kann ich nicht kommentieren, ob es einen Fehler in ihrem Buch gibt oder nicht, aber ich würde vermuten, dass sie in all ihren Beispielen nur mit dem Trägheitstensor arbeiten, nachdem sie ihn diagonalisiert haben. In diesem Fall würden die anderen Komponenten entkoppeln und irrelevant sein. Daher würde es ausreichen, eine spezielle Achse für ihre Zwecke zu isolieren, nämlich die

z

$z$ -Achse. Im Allgemeinen haben Sie Recht, dass die anderen Stücke natürlich wichtig sein sollten.

Erstarrung

@Aaron Warum sollte es keine Rolle spielen, ob die Bewegung um eine feste Achse erfolgt? Wenn die Bewegung um die z-Achse ist

ω_{x} = ω_{y} = 0

$\omega_x=\omega_y=0$ , Und

ω_{z} = ω

$\omega_z=\omega$ . Mein Ergebnis folgt dann als Spezialfall der Formel

L = I \vec{ω}

$\textbf{L}=\textbf{I}\vec{\omega}$ Wo

I

$\textbf{I}$ ist der Trägheitstensor. Und ich spreche überhaupt nicht von irgendeiner Hauptachse.

Aaron

Lassen Sie mich betonen, dass ich nicht glaube, dass an Ihrer Ableitung etwas falsch ist, und dass ich nicht überprüfen kann, ob Ihr Lehrbuch einen Fehler enthält, da ich ihn nicht habe. Ich versuche nur zu erklären, warum Ihr Lehrbuch sich dafür entscheidet, das zu isolieren

z

$z$ Komponente, was wahrscheinlich daran liegt, dass sie wählen

z

$z$ entlang einer Hauptachse liegen. Da Sie Ihre Basis immer nach Hauptkomponenten wählen können, stellt sich heraus, dass dies eine ausreichende Möglichkeit ist, über alle Rotationen nachzudenken. da Sie jede Komponente unabhängig voneinander behandeln können

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@Aaron Mag sein. Sie können sich den Fall vorstellen, dass sich ein würfelförmiger Körper um eine seiner Kanten dreht. In diesem Fall ist die Rotationsachse keine Hauptachse. :-)

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Wahrscheinlich, weil sie keine Drehmomente aufbringen, die nicht in der sind $z$ Richtung, also ist es auf pädagogischer Ebene irrelevant
Sollten Sie vielleicht betonen, dass Sie von einem zufällig klumpigen Objekt sprechen, da wir alle mit einer Vorliebe für symmetrische Situationen beim Physiklernen aufgewachsen sind? Außerdem gehen sie in HRW und dergleichen nicht näher auf Details ein, die Ihr Beitrag veranschaulicht, wenn sie glauben, dass sie ihren Standpunkt klar gemacht haben und dass die Prüfungsfragen vereinfacht werden.
Ich muss nur betonen, dass ich von einem dreidimensionalen Objekt spreche.
Ah sorry, ich war verwirrt und nahm an, dass du das gewählt hast $z$ Achse als Symmetrieachse oder entlang eines Eigenvektors des Trägheitstensors. Können Sie genauer sagen, was genau Sie mit "die Dynamik der anderen Komponenten werden nicht berücksichtigt" meinen?
@Aaron Was ist mit den Gleichungen $\tau_x=I_{xz}\dot{\omega}-I_{yz}\omega^2$ Und $\tau_y=I_{yz}\dot{\omega}+I_{xz}\omega^2$ die durch Ableitung von erhalten werden $\textbf{L}$ wrt Zeit t.
Ohne Ihr spezifisches Lehrbuch kann ich nicht kommentieren, ob es einen Fehler in ihrem Buch gibt oder nicht, aber ich würde vermuten, dass sie in all ihren Beispielen nur mit dem Trägheitstensor arbeiten, nachdem sie ihn diagonalisiert haben. In diesem Fall würden die anderen Komponenten entkoppeln und irrelevant sein. Daher würde es ausreichen, eine spezielle Achse für ihre Zwecke zu isolieren, nämlich die $z$ -Achse. Im Allgemeinen haben Sie Recht, dass die anderen Stücke natürlich wichtig sein sollten.
@Aaron Warum sollte es keine Rolle spielen, ob die Bewegung um eine feste Achse erfolgt? Wenn die Bewegung um die z-Achse ist $\omega_x=\omega_y=0$ , Und $\omega_z=\omega$ . Mein Ergebnis folgt dann als Spezialfall der Formel $\textbf{L}=\textbf{I}\vec{\omega}$ Wo $\textbf{I}$ ist der Trägheitstensor. Und ich spreche überhaupt nicht von irgendeiner Hauptachse.
Lassen Sie mich betonen, dass ich nicht glaube, dass an Ihrer Ableitung etwas falsch ist, und dass ich nicht überprüfen kann, ob Ihr Lehrbuch einen Fehler enthält, da ich ihn nicht habe. Ich versuche nur zu erklären, warum Ihr Lehrbuch sich dafür entscheidet, das zu isolieren $z$ Komponente, was wahrscheinlich daran liegt, dass sie wählen $z$ entlang einer Hauptachse liegen. Da Sie Ihre Basis immer nach Hauptkomponenten wählen können, stellt sich heraus, dass dies eine ausreichende Möglichkeit ist, über alle Rotationen nachzudenken. da Sie jede Komponente unabhängig voneinander behandeln können
@Aaron Mag sein. Sie können sich den Fall vorstellen, dass sich ein würfelförmiger Körper um eine seiner Kanten dreht. In diesem Fall ist die Rotationsachse keine Hauptachse. :-)

Chris · Answer 1

Die Dynamik starrer Körper ist im Allgemeinen ziemlich kompliziert, daher neigen Lehrbücher auf niedrigerem Niveau wie HRK dazu, die Dinge zu vereinfachen. Insbesondere ist es immer möglich, einen Satz von Achsen (als "Hauptachsen" bezeichnet) auszuwählen $\vec L=I_xω_x\hat{i}+I_yω_y\hat{j}+I_zω_z\hat{k}$ , was in Ihrem Fall gibt $\vec L$ im $\hat{k}$ Richtung. Ihr Buch wählt wahrscheinlich implizit diese Hauptachsen als Koordinatensystem aus.

Warum wird bei einer Starrkörperbewegung um die zzz-Achse die Dynamik von LxLxL_x, LyLyL_y nicht berücksichtigt?

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