Newtons zweites Rotationsgesetz

Question

Newtons zweites Rotationsgesetz

Richard

Kann das zweite Bewegungsgesetz für die Rotation, $\vec{\tau}=I \vec{\alpha}$ , für jede Achse verwendet werden ?
Gibt es auf jeden Fall diese Beschleunigung $\vec{\alpha}$ nicht in Richtung des aufgebrachten Drehmoments $\vec{\tau}$ ?

John Alexiou

Das richtige Gesetz ist

\sum \vec{τ} = \frac{D}{D T} (ICH \vec{ω}) = ICH \vec{a} + \vec{ω} \times ICH \vec{ω}

$\sum \vec{\tau} = \frac{{\rm d}}{{\rm d} t}( I \vec{\omega}) = I \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times I \vec{\omega}$ und es wird für alle verwendet

\vec{τ}

$\vec{\tau}$ ein

\vec{α}

$\vec{\alpha}$ .

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Newtons zweites Rotationsgesetz

Das richtige Gesetz ist $\sum \vec{τ} = \frac{D}{D T} (ICH \vec{ω}) = ICH \vec{a} + \vec{ω} \times ICH \vec{ω}$ $\sum \vec{\tau} = \frac{{\rm d}}{{\rm d} t}( I \vec{\omega}) = I \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times I \vec{\omega}$ und es wird für alle verwendet $\vec{\tau}$ ein $\vec{\alpha}$ .

Tom · Answer 1

Es kann tatsächlich für jede Achse verwendet werden. Aber denken Sie daran $I$ ist eine 3x3-Matrix. Wenn Sie verschiedene Achsen verwenden, müssen Sie diese Matrix transformieren, damit sie Ihrer Auswahl entspricht. Dies kann sich mitunter als recht schwierig erweisen $I$ kann ziemlich komplex sein.

Die Beschleunigung erfolgt immer in Richtung des gesamten auf Ihr Objekt wirkenden Drehmoments. Das Trägheitsmoment kann nicht negativ sein, da es wie folgt berechnet wird:

ICH = ρ (R) R^{2} D v

$I = \rho(r)r^2dV$

Mit $\rho(r)$ wobei die Dichte des Objekts und $r$ der Abstand zum Drehpunkt. Diese sind alle positiv. Jetzt können wir schlussfolgern, dass es in keiner Situation möglich wäre, eine negative Beziehung zwischen zu haben $\vec{\alpha}$ Und $\vec{\tau}$ . Die Winkelgeschwindigkeit muss natürlich nicht in Richtung des Gesamtdrehmoments gehen.

Aber wie gesagt $I$ ist eine Matrix, also könnte sie die Richtung ändern $\vec{\alpha}$ wenn man darauf einwirkt. Also Richtung $\vec{\tau}$ könnte anders sein!
Ich bin implizit davon ausgegangen, dass die verwendeten Achsen die Hauptachsen des Systems sind, in diesem Fall die nicht diagonalen Elemente von $I$ sind null. Das war also ein Fehler meinerseits, entschuldige bitte.
Wenn wir das erste Element von berechnen würden $\vec{\tau}$ wir würden bekommen $τ_{1} = {ICH}_{11} . a_{1} + {ICH}_{12} . a_{2} + {ICH}_{13} . a_{3}$ $\tau_1 = I_{11}.\alpha_1 + I_{12}.\alpha_2 + I_{13}.\alpha_3$ Wenn ich dies für die anderen Elemente wiederhole, scheint mir das offensichtlich $\vec{\alpha}$ würde nicht in die gleiche Richtung wie das Drehmoment gehen, was mir unglaublich kontraintuitiv erscheint. Im Moment bin ich eigentlich überzeugt, dass ich selbst etwas verpasse.
Wenn das 3×3-Massenträgheitsmoment in körperfesten Koordinaten als definiert ist $I_{body}$ und die 3×3 Rotationsmatrix für den Körper ist $R$ dann ist das MMOI in Weltkoordinaten $ICH = R {ICH}_{B Ö D j} R^{⊤}$ $I = R I_{body} R^\top$ Dies wird interpretiert als Transformation in lokale Koordinaten, Anwendung des MMOI und Rücktransformation in Weltkoordinaten.

Newtons zweites Rotationsgesetz

Richard

John Alexiou

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Tom

Richard

Tom

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John Alexiou

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