Verwirrung bezüglich des Drehmoments und der Berechnung der Linear-/Winkelbeschleunigung eines Objekts, wenn eine Kraft in einem Abstand von seinem Massenmittelpunkt ausgeübt wird?

Aus dem, was ich über das Drehmoment gelesen / gelernt habe, scheint es auf der Idee abzuleiten, dass das Aufbringen einer Kraft, die weiter von einem Punkt entfernt ist, um den sich ein Objekt dreht, die auf dieses Objekt ausgeübte Rotationskraft erhöht / eine stärkere Rotationsbeschleunigung verursacht.

Meine Verwirrung ist, wie genau die Position / Entfernung vom Rotationszentrum, von dem aus die Kraft ausgeübt wird, unterschiedliche Grade der Rotationsbeschleunigung verursacht. Insbesondere bin ich neugierig, ob es eine Art mathematische Ableitung gibt, die zeigt, wie viel Rotationsbeschleunigung / -kraft eine Kraft, die in einem bestimmten Abstand von einem Rotationspunkt eines Objekts ausgeübt wird, genau verursacht.

Um dies besser zu verstehen, habe ich versucht, die momentane Linear- und Winkelbeschleunigung eines Stocks/einer Stange/eines Stabs der Masse M, Länge L (R = L/2), einheitliche Dichte M/L = m bei einer Kraft zu berechnen F ist der angewendete Abstand r vom Massenmittelpunkt des Objekts (der natürlich in der Mitte des Objekts liegt), ohne die Idee des Drehmoments zu verwenden.

Ich kam zu dem Schluss, dass die momentane lineare Beschleunigung F/M wäre. Für die Winkelbeschleunigung habe ich versucht, sie auf der Grundlage zu berechnen, dass die an dem Punkt ausgeübte Kraft eine gleiche/entgegengesetzte Widerstandskraft von den Massen auf beiden Seiten ihres Angriffspunkts erfährt.

Ich beschloss, jeder Seite eine lineare Widerstandskraft gleich zu geben M ( R − R ) ( F / M ) für die kurze Seite und m(R+r)(F/M) für die lange Seite. Dann habe ich festgestellt, dass es auch eine Rotationswiderstandskraft geben müsste, so dass die Gesamtwiderstandskraft auf jeder Seite gleich ist.

Dafür habe ich mra (wobei r der Abstand vom COM und a die Winkelbeschleunigung ist) von r nach R integriert, um die kurze Seite zu erhalten

( 1 / 2 ) ( M A ( R 2 − R 2 ) ) .

Für die lange Seite habe ich

( 1 / 2 ) ( M A ( R 2 − R 2 ) ) .
Nach dem Einstellen

M ( R − R ) ( F / M ) + ( 1 / 2 ) ( M A ( R 2 − R 2 ) ) = M ( R + R ) ( F / M ) + ( 1 / 2 ) ( M A ( R 2 − R 2 ) )

Ich habe nach a gelöst, um ein = zu bekommen

( 2 F R ) ( M ( R 2 − R 2 ) )

Ich nahm an, dass die gesamte Rotationskraft parallel zur linearen Kraft wäre, da sie augenblicklich war. Ich dachte, die Gleichung schien ziemlich intuitiv zu sein R = 0 die Winkelbeschleunigung wäre null und wenn sich r nähert, würde Ra signifikant zunehmen. Ich würde a = unendlich bei r = R mit der Tatsache verteidigen, dass dies technisch unmöglich ist, da es immer eine gewisse Masse / Entfernung hinter dem Angriffspunkt der Kraft geben wird.

Ich war mir jedoch nicht sicher, ob es richtig war, basierend auf meiner anfänglichen Annahme, wie ich es abgeleitet habe (Kräfte auf jeder Seite wären gleich). Ich habe mich gefragt, ob jemand erklären könnte, wie man die Winkelbeschleunigung basierend auf den Newtonschen Gesetzen und vorzugsweise ohne Verwendung des Drehmoments berechnet. Oder wenn jemand erklären / ableiten könnte, wie Drehmoment- / Winkelanaloga von Kräften die Newtonschen Gesetze korrekt darstellen, die auf Rotationsbewegungen angewendet werden, wäre dies ebenfalls hilfreich.

Entschuldigung für die Formatierung, ich spreche davon, ein langes Rechteck mit den oben angegebenen Eigenschaften zu zeichnen und eine Kraft senkrecht zum Balkenabstand r von seiner Mitte anzuwenden. Unter der Annahme, dass die Summen / Integration der Massen und ihrer Beschleunigungen auf beiden Seiten des Angriffspunkts der Kraft gleich wären, werden die Beschleunigungen sowohl in lineare als auch in Winkelbeschleunigungen getrennt.

Antworten (1)

Ich habe mich gefragt, ob jemand erklären könnte, wie man die Winkelbeschleunigung basierend auf den Newtonschen Gesetzen und vorzugsweise ohne Verwendung des Drehmoments berechnet.

Ohne Drehmoment zu verwenden? Unwahrscheinlich. Wie wäre es mit

F D = ICH a

Wo F ist die Kraft, D ist der senkrechte Abstand vom Zentrum zum Ort der Krafteinwirkung, ICH ist das Trägheitsmoment und a ist die Winkelbeschleunigung. Aber beide Seiten dieser Gleichung sind gleich dem Drehmoment.

Oder wenn jemand erklären / ableiten könnte, wie Drehmoment- / Winkelanaloga von Kräften die Newtonschen Gesetze korrekt darstellen, die auf Rotationsbewegungen angewendet werden, wäre dies ebenfalls hilfreich.

Aus Kraft wird Drehmoment. Masse wird zum Trägheitsmoment. Beschleunigung/Geschwindigkeit wird zu Winkelbeschleunigung/Winkelgeschwindigkeit. Schwung

P = M v

wird zum Drehimpuls

L = ICH ω

und Newtons zweites Gesetz

F = M D v D T

wird

τ = ICH D ω D T = ICH a

Eine Erklärung ohne Drehmoment ist nicht möglich.

Nun, speziell habe ich mich gefragt, ob es einen mathematischen Beweis gibt, der zeigt, dass die Verwendung von Drehmoment / Drehimpuls / Trägheitsmoment usw. die auf die Rotationsbewegung angewendeten Newton-Gesetze korrekt darstellt. Wie ein Beweis, der zeigte, dass die Rotationskraft einfach durch ein Drehmoment dargestellt werden kann, dh Kraft mal Weg. Aufgrund von Erklärungen, die ich gesehen habe, heißt es nur, dass die Rotationskraft proportional zur Entfernung wäre, aber es hat es nicht bewiesen oder die genaue mathematische Beziehung gezeigt.
Ich glaube nicht, dass es eine Ableitung als solche gibt, es genügt zu sagen, dass die Gleichungen für die Rotationsdynamik auf natürliche Weise aus der linearen Dynamik hervorgehen.
Woher wissen wir dann, dass sie richtig sind? Müsste es nicht eine Ableitung geben (ähnlich wie oben), die die genaue Rotationskraft zeigt, die eine in einem bestimmten Abstand vom Com ausgeübte Kraft verursachen würde. Ansonsten ist es nicht nur eine fundierte Vermutung.
Newtons 2. Bewegungsgesetz kann aus den EL-Gleichungen abgeleitet werden. Diese sind die gleichen wie die obigen Gleichungen, werden jedoch auf rotierende Objekte angewendet. Warum ist das schwer zu verstehen?
Nun, ich denke, ich bin hauptsächlich verwirrt darüber, woher Sie wissen, dass das Aufbringen einer Kraft an einem bestimmten Punkt auf ein Objekt eine Rotationskraft / ein Drehmoment verursacht, das der Kraft mal seinem Abstand vom Massenmittelpunkt entspricht. Mir ist bewusst, dass die Rotationsbeschleunigung einer Masse direkt proportional zu ihrem Abstand vom Rotationspunkt wäre, aber woher wissen Sie, dass die aufgebrachte Kraft diese exakte Rotationsbeschleunigung ohne irgendeine Ableitung verursacht?
Verwirrung bezüglich des Drehmoments und der Berechnung der Linear-/Winkelbeschleunigung eines Objekts, wenn eine Kraft in einem Abstand von seinem Massenmittelpunkt ausgeübt wird?
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