Rotiert ein Körper immer nur um seinen Schwerpunkt? [Duplikat]

Ein Körper in freier Bewegung dreht sich nicht unbedingt um den Massenmittelpunkt. Der Massenmittelpunkt kann zusätzlich zu jeder Drehung eine gerade lineare Bewegung haben. Die allgemeine Bewegung ist eine Schraubenbewegung mit einer Drehung um eine augenblickliche Achse und gleichzeitiger Parallelverschiebung.

Stellen Sie sich einen beliebigen vorbeirotierenden Körper vor$\vec{\omega}$und zu einem bestimmten Zeitpunkt hat der Schwerpunkt (Punkt C ) eine lineare Geschwindigkeit$\vec{v}_C$.

Ich kann beweisen, dass es immer einen Punkt A gibt , an dem die lineare Geschwindigkeit des ausgedehnten starren Körpers nur parallel zur Rotationsachse ist, die durch definiert ist$\vec{\omega}$. Die kombinierte Bewegung ist eine Rotation um A mit einer parallelen Translation von$\vec{v}_A = h \vec{\omega}$. Der Skalar$h$heißt Tonhöhe. Wenn sich der Körper dann ohne Translation rein dreht$h=0$und wenn der körper dann rein übersetzt$h=\infty$Und$\|\vec{\omega}\|=0$.

Die Bewegung einer beliebigen starren Bewegung wird als solche zerlegt:

• Rotationsgeschwindigkeit $$\omega = \| \vec{\omega} \|$$
• Drehrichtung $$\hat{e} = \frac{\vec{\omega}}{\omega}$$
• Lage der Rotationsachse $$\vec{r}_A = \vec{r}_C + \frac{\vec{\omega}\times \vec{v}_C}{\omega^2}$$
• Schraubensteigung $$h = \frac{\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C}{\omega^2}$$

_{ANMERKUNGEN:$\cdot$ist das innere Produkt des Vektors, und$\times$ist das Vektorkreuzprodukt.}

Nachweisen

Die lineare Geschwindigkeit bei A wird durch das Rahmentransformationsgesetz gefunden

$$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \vec{\omega} \times (\vec{r}_A-\vec{r}_C)$$ Die Verwendung des Ortsausdrucks von oben ist

$$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega} \times(\vec{\omega}\times \vec{v}_C)}{\omega^2}$$

Verwendung des Vektor-Tripelprodukts

$$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C)-\vec{v}_C (\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})}{\omega^2}$$

Mit der Vereinfachung, dass$(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}) = \omega^2$und die Definition für Schraubensteigung$\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C = h \omega^2$das oben ist

$$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega}(h \omega^2)-\vec{v}_C (\omega^2)}{\omega^2} = h \vec{\omega}$$

Die Geschwindigkeit bei A ist also parallel zur Rotation$\vec{\omega}$

Umgekehrter Beweis

Sie können von einer allgemeinen Schraubenbewegung an einem bekannten Punkt A mit Richtung ausgehen$\hat{e}$, Geschwindigkeit$\omega$und Tonhöhe$h$(zwei Parameter für den Punkt, da der Ort entlang der Linie nicht zählt, zwei Parameter für die Richtung, da die Größe keine Rolle spielt, einer für die Geschwindigkeit und einer für die Tonhöhe sind gleich sechs unabhängige Parameter, die die Bewegung beschreiben. Diese werden transformiert zu den bekannteren sechs Bewegungsparametern$\vec{\omega}$Und$\vec{v}_C$unter:

• Rotationsvektor $$\vec{\omega} = \omega \hat{e}$$
• Linearer Vektor $$\begin{align} \vec{v}_C &= \vec{v}_A - \vec{\omega} \times (\vec{r}_A-\vec{r}_C) \\ & = h \vec{\omega} + (\vec{r}_A-\vec{r}_C) \times \vec{\omega} \end{align}$$

Alle sechs Bewegungsparameter sind jetzt im Massenmittelpunkt definiert. Manchmal wird das Obige zu einem Ausdruck kombiniert

$$\begin{bmatrix} \vec{v}_C \\ \vec{\omega} \end{bmatrix} = \omega \begin{bmatrix} h \hat{e} + \vec{r}\times \hat{e} \\ \hat{e} \end{bmatrix}$$ die die Bewegung im ersten Teil eindeutig in die Größe (Geschwindigkeit) und im zweiten Teil die Schraubenachse (Geometrie) zerlegt. Die beiden Vektoren, die die Schraubenachse definieren, werden Plückerlinienkoordinaten genannt.

Beispiel

Ein zylindrischer Körper dreht sich um seine Achse und verschiebt sich senkrecht zur Achse (rote Vektoren). Diese Bewegung wird durch eine reine Drehung um die Schraubenachse beschrieben (lila Vektoren).

Rotiert ein Körper immer nur um seinen Schwerpunkt?

Nun, das kommt darauf an. Die erste Annahme, die Sie brauchen, ist, dass der Körper starr ist. Wenn Sie diese Annahme verletzen, sind alle Wetten vom Tisch, weil Sie nicht einmal alle Bewegungen unbedingt als "Rotationen" klassifizieren können: Wenn sich beispielsweise ein langes, dünnes Brett sinusförmig in/aus einer Helixform hin und her dreht, ist das so Vibrationsmodus eine "Rotation" um eine "Achse"? Positiv oder negativ? Und welche Achse?

Der formale Weg, ein Objekt starr zu machen, besteht darin , alle Abstände festzulegen, was bedeutet, dass jede Bewegung des Objekts technisch gesehen eine Isometrie ist. Isometrien gibt es in drei Geschmacksrichtungen: Eine Isometrie ist eine Zusammensetzung aus Reflexionen, Translationen und Rotationen. Reflexionen gelten nicht für Bewegung, da sie keine "kontinuierlichen" Isometrien sind. Jede andere Bewegung kann in der Tat als Verschiebung eines Punktes und Drehung um diesen Punkt angesehen werden, für jeden Punkt auf (oder neben) dem Objekt. Wählen Sie also den Punkt als Massenmittelpunkt: Dann muss jede Bewegung eine Translation des Massenmittelpunkts plus eine Drehung um diesen Massenmittelpunkt sein.

Beachten Sie, dass es ein unangenehmes Problem gibt: Angenommen, wir haben einen Ball an einem Seil, das wir um unseren Kopf schwingen. Angenommen, der Ball ist nicht kugelsymmetrisch: Dann ja, wir können die Bewegung des Balls zwischen zwei Punkten als Translation beschreiben, gefolgt von einer Rotation um den Massenmittelpunkt: Dies ist jedoch nicht das, was wir meinen, wenn wir davon sprechen, was der Ball ist "herumdrehen", das sind wir, die das Seil halten.

Dazu müssen wir uns nicht nur der abstrakten Mathematik der Gruppen zuwenden$E^+(3)$Und$O(3)$Und$SO(3),$sondern auch die Dynamik des Systems.

In diesen Fällen können wir sagen, dass, wenn alle Kräfte zentral sind (das System kann als ein Bündel von Punktmassen modelliert werden, die aufeinander gerichtete Kräfte haben, die das dritte Newtonsche Gesetz erfüllen), die Dynamik so lange keine externen Kräfte vorhanden sind entkoppelt in eine kontinuierliche Translation des Massenschwerpunkts in einer geraden Linie (der Massenschwerpunkt beschleunigt nicht ) und eine kontinuierliche Rotation um eine Achse$\vec \omega$.