Warum drehen sich Türen?

Das Drehmoment hängt von der Kraft und dem Abstand zwischen Scharnier und Kraftangriffspunkt ab.

Wenn Sie am Griff an der Tür ziehen, wenden Sie eine Kraft an und es gibt einen Abstand ungleich Null zwischen Griff und Scharnieren, sodass Sie ein Drehmoment und folglich eine Drehung um die Scharniere erhalten.

Die Scharniere bringen ihre Kraft im Rotationszentrum auf, können also kein Drehmoment erzeugen.

Es gibt keine "gleichen, aber entgegengesetzten Drehmomente", weil es nur eines gibt.

Drehmomente ändern Rotationen ebenso wie Kräfte Übersetzungen ändern. Fortlaufende Rotationen oder Translationen erfordern keine wirkenden Drehmomente oder Kräfte.

Wenn Sie eine Tür aufziehen, wenden Sie eine Kraft und ein Drehmoment an, das Kreuzprodukt aus Kraft und Weg wird erzeugt. Da die Tür jedoch um das Zentrum (Scharniere) schwenkt und schwingt, können die Scharniere kein Drehmoment erzeugen, da sie selbst das Zentrum sind. Sie üben jedoch eine Kraft in Richtung Zentrum aus.

Stellen Sie sich das so vor, es werden 2 Kräfte, aber nur 1 Drehmoment erzeugt, da eine Kraft auf den Drehpunkt wirkt.

a) Die Reaktionskräfte des Scharniers sind nicht gleich und entgegengesetzt zu den an der Tür wirkenden Kräften. Sie sind genau das, was sie sein müssen, um die Tür zu zwingen, sich um das Scharnier zu drehen.

b) Es ist genau das Nettodrehmoment um den Massenmittelpunkt, das die Tür dreht. Dieses Nettodrehmoment hat einen Beitrag von den aufgebrachten Kräften und der Scharnierreaktion.

c) Es hilft, ein Freikörperdiagramm zu erstellen und die Bewegungsgleichungen anzugeben, bevor irgendwelche Annahmen getroffen werden. Betrachten wir ein planares vereinfachtes Beispiel:

Hier hat ein Scharnier am Punkt A unbekannte Reaktionskräfte$A_x$Und$A_y$. Eine angewandte Kraft$B_y$wird an einem Punkt B angelegt , und der Massenmittelpunkt ist an Punkt C. Der Abstand vom Pivot zum COM ist$c$und der Abstand von der Kraft zum COM ist$d$. Nennen wir den Schwenkwinkel$\theta$(nicht gezeigt).

1. Kinematik - Die Tür ist bei A angelenkt , sodass die einzige zulässige Bewegung des Massenmittelpunkts C ist $$\begin{aligned} \ddot{x}_C & = -c\,\dot{\theta}^2 \\ \ddot{y}_C & = c\,\ddot{\theta} \end{aligned}$$
2. Kräfte - Die Summe der Kräfte bewegt den Schwerpunkt (Masse ist$m$) $$\begin{aligned} A_x & = m \ddot{x}_C = -m c \,\dot{\theta}^2 \\ A_y + B_y & = m \ddot{y}_C = m c\,\ddot{\theta} \end{aligned}$$
3. Drehmomente - die Summe der Drehmomente, um die COM den Körper dreht (Massenträgheitsmoment ist$I_C$) $$\begin{aligned} d\,B_y -c A_y & = I_C \ddot{\theta} \end{aligned}$$
4. Lösung - Lösen Sie die obigen drei Gleichungen für die Stiftreaktionen und die Bewegung $$\begin{aligned} A_x & = -m c \dot{\theta}^2 \\ A_y & = \left( \frac{m c (c+d)}{I_C + m c^2}-1 \right) B_y \\ \ddot{\theta} & = \left( \frac{c + d}{I_C + m c^2} \right) B_y \end{aligned}$$
5. Erläuterung
   • Die Reaktion entlang der x -Achse hängt nur von der Bewegung der Tür ab.
   • Die Reaktion entlang der y -Achse ist am komplexesten, aber sie wird Null, wenn die Kraft durch die Schlagachse ausgeübt wird$d = \frac{I_C}{m c}$.
   • Die Drehbeschleunigung hängt vom Drehmoment aufgrund der aufgebrachten Last ab$(c+d)B_y$und das Massenträgheitsmoment um den Stift$I_C + m c^2$.
6. Effektive Masse - Die Bewegung des Punktes B der Kraft definiert die effektive Masse, die die Kraft sieht. Die Beschleunigung entlang der Kraft ist$\ddot{y}_B = (c+d) \ddot{\theta}$und damit die effektive Masse ist $$m_{\rm effective} = \frac{B_y}{\ddot{y}_B} = \frac{I_C + m c^2}{(c+d)^2}$$

Übrigens - Sie haben Newtons 3. Gesetz erwähnt, das hier für das Scharnier gilt. Die Mächte$A_x$Und$A_y$werden vom Scharnier auf die Tür ausgeübt, und die gleichen und entgegengesetzten Kräfte werden von der Tür auf die Scharniere (und den Rahmen oder Boden) ausgeübt.

Um diese Art von Problem richtig anzugehen, müssen Sie einen geeigneten Satz von Koordinaten einrichten und alle Drehmomente und Kräfte in diesem Koordinatensystem auswerten. Das Drehmoment wird um eine Achse oder relativ zu einer Achse über die Beziehung cross(r, F) für jede Kraft definiert. r ist der Vektor von der Achse zum Kontaktpunkt von F. Für "freie" Körper kann man die Bewegung in zwei Komponenten trennen, die der COM, die von der Nettokraft bestimmt wird, und die Bewegung um die COM, die für a Starrer Körper ist reine Rotation und wird von den Drehmomenten bestimmt. Wenn Sie einen starren Körper an einem Punkt (Kugelscharnier) oder entlang einer Achse (wie einer Tür) fixieren, können Sie immer noch die Bewegung um die COM beschreiben, aber das wird kontraintuitiv. Ein besserer Ansatz ist es, alles relativ zur festen Rotationsachse (in diesem Fall definiert durch die Scharniere) zu berechnen. In dieser Beschreibung ist ein und nur ein Freiheitsgrad erforderlich, um zu beschreiben, was passiert (Sie haben wirklich 3 Rotationsgrade, aber das Scharnier beschränkt zwei davon).

Die aufgebrachte Kraft erzeugt ein Drehmoment um die durch das/die Scharnier(e) definierte Achse. Es gibt eine Reaktionskraft am Scharnier (es muss vorhanden sein, damit die Beschränkung funktioniert). Stellen Sie sich eine Figur der Tür mit einem Scharnier vor, das als zylindrischer Pfosten modelliert ist, der durch eine zylindrische Manschette (Loch durch die Tür) geht, und betrachten Sie einen unendlich kleinen Spalt zwischen dem Pfosten und der Oberfläche der Manschette. Die Scharnierkraft ist eine Kontaktkraft. Daher gibt es nur zwei mögliche Beiträge zu dieser Kraft (in unserem idealen Modell, bei dem Tür und Scharnier "starr" sind). Die erste ist eine Normalkraft aufgrund des Kontakts der beiden Oberflächen. Dies zeigt entlang der radialen Richtung entlang einer Linie durch die Mitte des Scharniers. Die zweite ist die Traktion zwischen dem Pfosten und der Manschette, dh ein tangentialer Griff zu den Oberflächen, der auf Reibung zurückzuführen ist. Die erste, die normal ist, wird niemals ein Drehmoment erzeugen, da cross(r, F) = 0 für diese Kraft ist. Der zweite erzeugt ein Drehmoment, das der Kraft widersteht, die Sie zum Öffnen der Tür aufwenden. In diesem Fall sollten Sie Öl oder WD40 auf das Scharnier auftragen. Wir können eine reibungsfreie Oberfläche zwischen Stift und Manschette annehmen und diese Kraft verschwindet. In einer realen Lebenssituation sollte diese Kraft sehr klein sein oder kann beliebig klein gemacht werden. Das Scharnier erzeugt also gegenüber der festen Drehachse kein Drehmoment. Man kann für das Scharnier auch die Grenze eines sehr kleinen Radius nehmen und kommt zu dem Ergebnis, dass die Drehmomente aufgrund der Scharnierkräfte um die Drehachse annähernd Null sind. Wir können eine reibungsfreie Oberfläche zwischen Stift und Manschette annehmen und diese Kraft verschwindet. In einer realen Lebenssituation sollte diese Kraft sehr klein sein oder kann beliebig klein gemacht werden. Das Scharnier erzeugt also gegenüber der festen Drehachse kein Drehmoment. Man kann für das Scharnier auch die Grenze eines sehr kleinen Radius nehmen und kommt zu dem Ergebnis, dass die Drehmomente aufgrund der Scharnierkräfte um die Drehachse annähernd Null sind. Wir können eine reibungsfreie Oberfläche zwischen Stift und Manschette annehmen und diese Kraft verschwindet. In einer realen Lebenssituation sollte diese Kraft sehr klein sein oder kann beliebig klein gemacht werden. Das Scharnier erzeugt somit gegenüber der festen Drehachse kein Drehmoment. Man kann für das Scharnier auch die Grenze eines sehr kleinen Radius nehmen und kommt zu dem Ergebnis, dass die Drehmomente aufgrund der Scharnierkräfte um die Drehachse annähernd Null sind.

Ein Schlüssel zum Verständnis der unterschiedlichen Ansätze zur Beschreibung der Situation ist, dass Sie die Drehmomente und die Bewegung in beliebigen Koordinaten auswerten können.

Für freie Objekte ist der COM-Rahmen ideal zur Beschreibung der Rotation, für feste Körper ist die feste Achse ideal.