Ist Drehmoment in der Starrkörpermechanik notwendig? [Duplikat]

In Ihrer Rechnung sind Drehmoment und Drehimpuls nicht besonders vorteilhaft, weil das Beispiel zu einfach ist – die Kraft wirkt in Richtung der Geschwindigkeit. Wenn wir Schwerkraft hätten, wäre das Konzept von Drehimpuls und Drehmoment bereits ziemlich nützlich, da es uns erlaubt, die Bewegungsgleichung der Drehbewegung aufzuschreiben, ohne uns mit den auf das Teilchen wirkenden Zwangskräften vom Stab befassen zu müssen .

Prinzipiell sind Drehmoment und Drehimpuls in der Mechanik keine notwendigen Begriffe, um die Gesetze der Mechanik oder Bewegungsgleichungen eines Körpers zu formulieren. Sie leiten sich aus dem 2. Newtonschen Gesetz über Kraft und Beschleunigung materieller Punkte ab.

Natürlich wäre es möglich, den Bewegungszustand beispielsweise eines Satelliten unter Einwirkung einer äußeren Kraft mit einem Satz von Koordinaten und Geschwindigkeiten aller Teilchen, aus denen er besteht, auszudrücken und die Bewegungsgleichungen für sie nur aufzuschreiben Kräfte. Dies würde jedoch eine immense Anzahl von sich gegenseitig einschränkenden Variablen beinhalten und wäre sehr ungeschickt.

Durch Einführen des Drehmoments für jede Elementarkraft, die auf jedes Materialteilchen des starren Körpers wirkt, ist es möglich (unter der Bedingung, dass die Kraft eines Teilchens, das auf ein anderes wirkt, entlang der sie verbindenden geraden Linie gerichtet ist), dieses große Gleichungssystem zu vereinfachen ein paar.

Der Zustand des Satelliten kann mit 3 Koordinaten seines Zentrums, 3 Geschwindigkeitskomponenten des Zentrums, 3 Orientierungswinkeln und 3 Winkelgeschwindigkeitskomponenten des Körpers beschrieben werden, was nur 12 Variablen sind.

Der einfachste Weg, sich den Satz von Gleichungen zu merken und aufzuschreiben, der die Orientierungswinkel des Körpers und die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit beinhaltet, ist die Beziehung zwischen Nettodrehmoment und Drehimpuls:

Dies kann verwendet werden, um die sogenannten Euler-Gleichungen für die Bewegung eines starren Körpers oder einen äquivalenten Satz von Gleichungen abzuleiten.

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics)

Der große Vorteil der Begriffe Drehmoment und Drehimpuls in der Praxis ist die einfachere, prägnantere und prägnantere Beschreibung des Zustands starrer Körper und der Änderung dieses Zustands. Es vereinfacht die Analyse der mechanischen Probleme.

Drehmoment wird ebenso benötigt wie lineare Geschwindigkeit. Beide zeigen an, dass etwas in der Ferne passiert . Drehmoment ist Kraft auf Distanz und Geschwindigkeit ist Rotation auf Distanz. Im Allgemeinen hat man, wenn man das eine hat, auch das andere.

• Wenn Sie eine Kraft durch eine Achse haben, wird von dieser Kraft weg von dieser Achse ein Drehmoment erzeugt.
• Wenn Sie eine Drehung um eine Achse haben, wird aus dieser Drehung weg von dieser Achse eine Tangentialgeschwindigkeit erzeugt.
• Ein theoretisches reines Drehmoment ist eine Nullkraft, die im Unendlichen angewendet wird, ebenso wie eine reine Lineargeschwindigkeit eine Nullrotation im Unendlichen ist.

Im Allgemeinen brauchen wir Drehmomente, weil sie uns sagen, wo etwas passiert. Eine entlang einer beliebigen Achse angreifende Kraft muss als Kraft/Momenten-Paar auf den Schwerpunkt übertragen werden, um in den Bewegungsgleichungen verwendet zu werden. Ganz ähnlich muss jede definierte Bewegung als Linear/Winkel-Paar auf den Schwerpunkt übertragen werden, um den Impulszustand des Körpers (auch für die Verwendung in den Bewegungsgleichungen) zu ermitteln.

Betrachten Sie den allgemeinen Fall Ihres Problems. Auf einen fixierten starren Körper bei B wirkt eine kurzzeitige Kraft (Stoß)$F$am Punkt A. Der Massenmittelpunkt liegt bei C. Es wird eine Reaktion am Stift geben$B_y$.

Die Bewegungsgleichungen können entweder als A , B oder C ausgedrückt werden , wenn wir darauf achten, die richtigen Drehmomente und Beschleunigungen zu berücksichtigen.

• Im Massenmittelpunkt C der Begriff$c \alpha$ist die lineare Beschleunigung des Massenmittelpunkts und$(\ell -c) F$das Drehmoment aufgrund der Kraft$F$. $$\begin{aligned} F + B_y & = m c \alpha \\ (\ell-c) F - c B_y & = I_C \alpha \end{aligned}$$
• Am Drehpunkt B das Massenträgheitsmoment$I_C$wird mit dem Satz paralleler Achsen auf den Drehpunkt übertragen $$\begin{aligned} F + B_y & = m c \alpha \\ \ell F & = (I_C + m c^2) \alpha \end{aligned}$$
• Am Aufprallpunkt A liegt eine Trägheitslast vor$m \ell \alpha$und das zu berücksichtigende Drehmoment (siehe letzter Term der 2. Gleichung). $$\begin{aligned} F + B_y & = m c \alpha \\ -l B_y & = (I_C + m d^2) \alpha - m d \ell \alpha \end{aligned}$$ Wo$d=\ell-c$

Für alle oben genannten Fälle könnten die Gleichungen ohne die äquivalenten Drehmomente auf der linken Seite und die äquivalenten Beschleunigungen auf der rechten Seite nicht richtig gelöst werden . Es gibt Koordinatensystempositionen, an denen lineare Beschleunigungen Null sind (wie die Stiftposition), und andere, an denen das Nettodrehmoment Null ist (und daher nicht benötigt wird). Aber nicht gleichzeitig . Sie müssen entweder das eine oder das andere oder beide berücksichtigen.

Es ist ganz einfach: Sie müssen Drehmomente berücksichtigen, wenn Sie Ihre Objekte als Massenpunkte behandeln.

Hier ist eine einfachste Situation:
Stellen Sie sich einen Körper vor, an dem zwei Kräfte wirken, die antiparallel und gleich stark, aber nicht auf derselben Linie sind.
Die transnationalen Gesetze sagen Ihnen nur, dass der Schwerpunkt nicht beschleunigt wird, sie können die Winkelbeschleunigung nicht vorhersagen. Um sicherzustellen, dass die Situation statisch ist, müssen Sie auch überprüfen, ob alle Drehmomente Null sind.

Es ist umgekehrt: Wenn die Drehmomente in Bezug auf genügend Achsen auf Null gesetzt werden, bedeutet dies, dass auch die Nettokraft Null ist.
In einem zweidimensionalen Statikproblem können Sie beispielsweise entweder die Nettokraft und das Drehmoment um einen Punkt betrachten (dh auf Null setzen) oder die Nettokraftprojektion in eine Richtung und die Drehmomente um zwei Punkte oder nur die Drehmomente um drei Punkte Punkte. Jede Möglichkeit gibt Ihnen die vollständige Information, die Sie aus der Tatsache ziehen können, dass die Situation statisch ist (in dem Sinne, dass jede zusätzliche Gleichung linear von den bestehenden abhängt).

Sie haben einige starke Einschränkungen vorgenommen, um Ihre Frage zu entwickeln. Wenn Sie diese Einschränkungen entfernen, gibt es viele Situationen, in denen Drehmomentberechnungen erforderlich sind.

Stellen Sie sich eine statische Gleichgewichtssituation mit einer einheitlichen Brettlänge vor$\ell$, die auf zwei Stützpunkten in einem Gravitationsfeld ruhen. Eine Stütze befindet sich am linken Ende der Platine und die andere Stütze$\ell /3$vom rechten Ende des Bretts. Um die Hubkräfte der einzelnen Stützen zu ermitteln, müssen Sie eine Drehmomentberechnung durchführen.

Betrachten Sie für eine andere, sich bewegende Situation eine Kraft, die in einer konstanten Richtung auf eine massive Stange wirkt, sodass sie nicht ständig senkrecht zur Stange steht und die Stange nicht verankert ist. Wenn die Kraft nicht durch den Massenmittelpunkt gerichtet ist, beginnt sich die Stange zu drehen, und die augenblickliche Tangentialgeschwindigkeit des Endes der Stange wird es nicht sein$at$. Sie müssen das Drehmoment an der Stange berechnen, um es zu finden$\omega (t)$.

Die Präzession eines Kreisels in einem Gravitationsfeld erfordert eine Drehmomentberechnung. Die Erklärung des Lenkens/Gegenlenkens eines auf der Straße fahrenden Fahrrads oder Motorrads erfordert eine Drehmomentberechnung.