Ist das Drehmoment immer gleich der Ableitung der potentiellen Energie in Bezug auf den Drehwinkel?

Willkommen bei Physics StackExchange! Der formale Beweis der Äquivalenz zwischen diesen beiden Formeln kann anhand der Kettenregel der Ableitungen und einiger Vektorbeziehungen erbracht werden.

Erstens die vollständige Version Ihrer zweiten Gleichung, einschließlich des Vorzeichens und einer infinitesimalen Drehung um einen Winkel$d\theta$um eine beliebige Achse$\hat{n}$(ein Einheitsvektor), ist

$$\hat{n}\cdot\vec{\tau} = -\frac{d U}{d\theta}$$ Wenn Sie möchten, können Sie dies als Definition des Drehmoments nehmen. Durch Anwendung der Kettenregel können wir dies auf die Kraft und die Winkelableitung des Positionsvektors beziehen $\vec{r}$: $$\hat{n}\cdot\vec{\tau} = -\frac{d U}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d \theta} = -\vec{\nabla}U \cdot \frac{d\vec{r}}{d \theta} = -\frac{d\vec{r}}{d \theta} \cdot\vec{\nabla}U = \frac{d\vec{r}}{d \theta} \cdot \vec{F}$$ Die allgemeine Formel zum aktiven Drehen eines Vektors um einen Winkel $\theta$nach der Rechtsregel um eine Achse $\hat{n}$Ist $$\vec{r}' = \vec{r} \cos\theta + \hat{n}\,(\hat{n}\cdot\vec{r})\,[1-\cos\theta] + (\hat{n}\times\vec{r}) \sin\theta$$ aber in der Grenze von infinitesimalen Rotationen $\theta\rightarrow d\theta$, $\cos d\theta\rightarrow 1$, $\sin d\theta\rightarrow d\theta$, dies reduziert sich auf $$\vec{r}' - \vec{r} = d\vec{r} = (\hat{n}\times\vec{r})\, d\theta \quad \text{or} \quad \frac{d\vec{r}}{d \theta} = \hat{n}\times\vec{r}$$ [Diese Formel ist auch bekannt als $(d\vec{r}/d t) = \vec{\omega}\times\vec{r}$wo die Winkelgeschwindigkeit ist $\vec{\omega}=\hat{n}\,(d \theta/dt)$].

So erhalten wir auf der rechten Seite ein skalares Tripelprodukt, das umgestellt werden kann:

$$\hat{n}\cdot\vec{\tau} = \hat{n}\times\vec{r} \cdot \vec{F} = \hat{n}\cdot\vec{r} \times \vec{F}$$ Wir können wählen $\hat{n}$zu sein $x$, $y$, Und $z$Achsen der Reihe nach, um jede Komponente Ihrer ersten Gleichung zu geben $$\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}.$$