Warum ergibt das Kreuzprodukt zweier Vektoren einen Vektor in orthogonaler Richtung? [Duplikat]

Es ist wirklich nur eine Konvention, die gut funktioniert.

Grundsätzlich sind Rotationen als in einer Ebene wirkend zu denken . Zum Beispiel dreht sich Ihr Spinner in der$xy$-Ebene. Wenden Sie eine Kraft in der$x$-Richtung an einem Punkt auf der$y$-Achse, übt diese ein Drehmoment auf die aus$xy$-Ebene, und ihr Drehimpuls in der$xy$-Flugzeugwechsel.

So gesehen ist das Drehmoment nicht wirklich dasselbe wie die Vektoren, die Sie in der Einführungsphysik lernen. Unter anderem sind ihm zwei Richtungen zugeordnet, anstatt der einzelnen Richtung, die einem Vektor zugeordnet ist. Und wenn Sie ein Anfänger sind, kann es ärgerlich und frustrierend sein, eine ganze Reihe neuer mathematischer Maschinen lernen zu müssen, um Rotationsbewegungen auszuführen. Vektoren können knifflig genug sein!

Aber zum Glück haben wir uns einen kleinen „Hack“ ausgedacht, um das zu umgehen. Wenn Sie darüber nachdenken, sagen Sie: „Dieses Objekt dreht sich in der$xy$-plane" ist gleichbedeutend mit "dieses Objekt ist$z$-Achse ist fest." Das Kreuzprodukt bildet die beiden Vektoren ab, die eine Rotationsebene definieren ($\hat{\imath}$Und$\hat{\jmath}$) zu einem Vektor, der die feste Achse ($\hat{k}$). Es gibt nicht unbedingt eine Bewegung in der$z$-Richtung, wenn dies geschieht; Es ist nur eine Möglichkeit, Rotationsebenen abzubilden (wie z$xy$-Ebene) zu Rotationsachsen ( wie z$z$-Achse.)

Es gibt keine Bewegung in die dritte Richtung. Das Drehmoment in drei Dimensionen ist ein Vektor, wenn es die Eigenschaften eines Vektors erfüllt. Aus der Art und Weise, wie es addiert und subtrahiert, aus der Art und Weise, wie es sich bei Änderungen des Koordinatensystems transformiert, und aus seinem Verhalten bei der Zusammensetzung mit anderen Vektoren unter Verwendung von Vektoroperationen können wir schlussfolgern, dass es sich um einen Vektor handelt, und seine Richtung finden. Zum Beispiel können wir das Skalarprodukt des Drehmoments mit einem Vektor in der ij-Ebene finden. Wenn diese verschwindet, können wir darauf schließen, dass das Drehmoment in den Punkten liegt$\pm$k-Richtung.

Außerdem muss das Drehmoment nicht immer ein Vektor sein, wie im hypothetischen Fall einer zweidimensionalen Welt. Wir haben hier Drehungen, aber keine dritte Richtung, also ist das Drehmoment kein Vektor mehr, da es die Eigenschaften eines zweidimensionalen Vektors einfach nicht erfüllt.