Drehimpuls und Drehmoment im Kreisel

Es scheint mir, dass in den schematischen Diagrammen in den Screenshots, die Sie präsentieren, etwas Wesentliches fehlt.

Die Idee eines mechanischen Kreisels besteht darin, dass die Drehachse des Kreiselrads schließlich mit der von außen auferlegten Drehung ausgerichtet wird.

Für einen Kreiselkompass ist diese von außen auferlegte Rotation natürlich die Rotation der Erde.

Lassen Sie mich ein Namensschema für die Achsen vorstellen.

Ich definiere drei Achsen:

• Rollachse - das Kreiselrad dreht sich um die Rollachse.
• Nickachse - Bewegung des roten Rahmens.
• Schwenkachse - Bewegung des gelben Rahmens.

Das folgende YouTube-Video, Gyrocompass , zeigt eine Demonstration im Tischmaßstab.

Das in diesem Video verwendete Gyroskop hat Reibung in allen Lagern.

Im Gegensatz dazu: Im idealisierten Fall bewegen sich alle Teile reibungsfrei. Ohne jegliche Reibung würde die Drehachse des Kreiselrads niemals mit der Erdachse ausgerichtet werden. Stattdessen würde die von außen auferlegte Rotation (Erdrotation) dazu führen, dass die Drehachse des Kreiselrads einen Kegel ausfegt und niemals mit der Erdachse ausgerichtet wird.

Im Video richtet sich die Raddrehachse dank der Reibung in den Lagern aus. Aufgrund dieser Reibung schrumpft der Kegel, den die Drehachse des Kreisels überstreicht, so dass schließlich die Drehachse mit der von außen aufgebrachten Drehung ausgerichtet wird.

Der mechanische Kreiselkompass ist ein veraltetes Design, ersetzt durch Instrumente, die die gleiche Funktion erfüllen, aber intern mit faseroptischer Rotationsmessung oder Rotationsmessung mit MEMS-Technologie arbeiten

Ich kann kaum qualitativ hochwertige Informationen über Kreiselkompasse finden. Der Artikel der Encyclopedia Britannica über Gyrocompass ist der beste, der mir bisher begegnet ist

Zusätzliche Ressource:
Auf der Website der San Francisco Maritime National Park Association:
the Service manual for the Sperry Mark XIV, Mod. 1, 17-1400D Kreiselkompass, der großzügigerweise auch einen Anhang mit einer ausführlichen Diskussion der Grundprinzipien des Kreiselkompasses enthält

Das Sperry-Design beinhaltet eine fein abgestimmte Dämpfung (unter Einbeziehung von Quecksilber), so dass der Kreiselkompass, wenn er aus einem Null-Spin-Zustand gestartet wird, sich in kürzester Zeit auf den geometrischen Norden einstellt.

Zurück zur Behandlung der Kreiselkompasse im Kleppner-Lehrbuch.

Soweit ich das beurteilen kann, stehen die Aussagen in den Teilen des Lehrbuchs, die Sie kopiert haben, im Widerspruch dazu, wie Kreiselkompasse tatsächlich funktionieren.

Das heißt, soweit ich das beurteilen kann, sind die Aussagen über Kreiselkompasse in diesem Lehrbuch falsch.

Der rotierende Spin-Drehimpuls kann meines Erachtens niemals eine Komponente auf AB haben. Es bleibt immer senkrecht zu AB und trägt nicht zur Änderung des Gesamtdrehimpulses entlang AB bei.

Ich glaube, ich vermisse hier etwas. Alles, was ich weiß, ist, dass, wenn das DREHMOMENT ENTLANG EINER RICHTUNG NULL IST, DER WINKELMOMENT NICHT ENTLANG DIESER RICHTUNG ÄNDERN WIRD.

Sie haben das Recht zu zweifeln, und wenn Sie Zweifel haben, kehren Sie am besten zu den Grundlagen zurück, um eine Lösung zu suchen. Erinnern wir uns an die Grundprinzipien:

1. Die Änderungsrate des Drehimpulses in einem Trägheitsrahmen ist gleich dem Drehmoment der äußeren Kräfte (unter der Annahme, dass das Drehmoment der inneren Kräfte Null ist).

2. Ein Vektor kann geändert werden, indem der Betrag oder die Richtung geändert werden.

Unter Berücksichtigung der beiden oben genannten Prinzipien wählen wir zunächst den Trägheitsrahmen als Laborrahmen (in dem sich die gesamte Baugruppe mit Winkelgeschwindigkeit um die Vertikale dreht).$\Omega$). Stationieren wir den Ursprung des Laborrahmens in der Mitte des Kreisels, der eindeutig im Laborrahmen ortsfest ist.

Als nächstes, obwohl die Richtung$AB$sich im Raum verändert, stellen Sie sich einen festen Zeitpunkt vor$\ t = t_{o}$. Bei$\ t=t_o$,$AB \ $wird in eine feste Richtung im Raum zeigen. Die Drehmomentgleichung (Prinzip 1 oben) sagt uns dann, dass das Drehmoment in Richtung$AB$bei$\ t = t_o$gleich der momentanen Änderungsrate des Drehimpulses in Richtung von ist$AB$. Mathematisch bedeutet das Rechnen$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}$bei$t=t_o$und nimmt seine Projektion mit$AB$.

Wie bereits von Kleppner-Kolenkow erläutert, ist die Komponente des Drehmoments auf dem System entlang der Achse$AB$im Laborrahmen über unserem gewählten Ursprung ist Null (sie gehen davon aus, dass der Schwerpunkt des Gyroskops in seinem geometrischen Zentrum liegt und keine Reibung an der Achse$AB$). Es bleibt also nur noch zu rechnen$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}$bei$t=t_o$entlang$AB$.

Nun, um die Berechnung für zu tun$\big(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}\big)_{t=t_o}$Beachten Sie, dass der "Spin-Drehimpuls" sowohl eine vertikale als auch eine horizontale Komponente hat. Aber die horizontale Komponente präzediert um die Vertikale mit Winkelgeschwindigkeit$\Omega$(weil sich die gesamte Baugruppe um die Vertikale dreht)! Dies bedeutet, dass sich die "Richtung" der horizontalen Komponente des "Spin-Drehimpulses" im Laborrahmen ständig ändert. Nach Prinzip 2 (oben angegeben) führt diese Präzession zu einem Beitrag im Ausdruck für$\big(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}\big)_{t=t_o}$.

Ich würde jetzt empfehlen, den vorherigen Abschnitt im selben Kapitel dieses Buches (erneut) zu lesen (geht wahrscheinlich unter dem Namen "Kreiselpräzession" ; sehen Sie sich dies auch zur Visualisierung an). Das Wesentliche dieses Abschnitts ist das im Fall einer reinen Präzessionsbewegung$-$Stell dir einen Vektor vor,$\vec{V}$, von fester Länge, die sich mit augenblicklicher Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse dreht$\vec{\omega} \ -$wir haben

In diesem speziellen Fall$\vec{\omega} = \Omega \ \hat{k}$, Und$\vec{V}$ist die horizontale Komponente des "Spin-Drehimpulses" (denn denken Sie daran, dass sich die gesamte Baugruppe um die Vertikale dreht und daher auch die horizontale Komponente des "Spin-Drehimpulses" präzediert). Die einzige kleine Einschränkung hier ist das$\vec{V}$könnte sich in der Größenordnung ändern$-$allerdings trägt dies nichts in die richtung bei$AB$Weil ($\vec{V}$senkrecht dazu gerichtet ist$AB$). Eindeutig dann der Präzessionsbeitrag in Richtung$AB \ $wird von gegeben$\Omega L_s \sin \theta$, und ist zufällig der einzige andere Beitrag zu$\big(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}\big)_{t=t_o}$entlang$AB$abgesehen vom Üblichen$I_{\perp}\ddot{\theta} \ -$und genau das behaupten Kleppner-Kolenkow.

Somit haben wir,

Während dies heuristisch die Drehmomentgleichung beweist, würde ich dennoch vorschlagen, Eulers Gleichungen zu verwenden oder die Komponenten von explizit aufzuschreiben$\vec{L}$im Laborrahmen und Zeitableitungen nehmen, um andere Beiträge in komplexeren Setups nicht zu verpassen.

Außerdem dämpft Reibung, wie von anderen erklärt, diese (pendelartige) Schwingungsbewegung$\theta$, wobei schließlich die Achse des Gyroskops mit der Achse ausgerichtet wird, um die sich die Plattform dreht ($\theta = 0$).

Hinweis: Dieses Problem veranschaulicht nur das Prinzip eines Kreiselkompasses$-$für ein tatsächliches Kreiselkompassgerät ist die sich drehende Plattform die Erde.

Hoffe das hilft.

Die Drehung des Drehtellers übt ein Drehmoment auf die Achse AB aus. Dieser Drehmomentvektor ist nach oben gerichtet, wird auf die Radachse übertragen und bewirkt, dass der Drehimpulsvektor des Rads nach oben schwingt und sich schließlich in der vertikalen Position stabilisiert. Ihre Gleichungen sagen die Rate voraus, mit der diese Schwankung auftreten wird. Beim Aufschwingen entwickelt das Rad einen Drehimpuls um die AB-Achse (der Vektor ist entlang der Achse gerichtet). Dieser Impuls wird es über die vertikale Position hinaus tragen und zu Schwingungen führen (möglicherweise durch Reibung gedämpft).

Obwohl die Antwort von Cleonis eine Menge hervorragender Details enthält, hilft vielleicht ein physikalisches Modell zu verstehen, was vor sich geht:

• Die gyroskopische Präzession in ihrer üblichen Form dauert ewig an.

• Reibung, die der Präzession entgegenwirkt, kann/wird ein Drehmoment liefern.

• Dieses Drehmoment wirkt der Präzession entgegen, indem es dazu neigt, die Impulsachse auszurichten, wodurch die Größe des Präzessionskreises wesentlich verringert wird

• Sobald dieser Prozess seinen Lauf genommen hat, stabilisiert sich das Gyroskop mit ausgerichteter Achse und kann als Kompass verwendet werden.

Um diese beiden mittleren Schritte zu verstehen, stellen Sie sich vor, Sie blicken parallel zur Erdachse. Sie werden sehen, wie sich die Kreiselspitze im Kreis dreht, sagen wir gegen den Uhrzeigersinn. Reibung, die dem entgegenwirkt, ist an jedem Punkt ein Drehmoment in Ihre Richtung, wodurch der L-Vektor des Gyroskops so gezogen wird, dass er auf Sie zeigt, wodurch ein kleinerer Präzessionskreis entsteht. Das wiederholt sich, bis es ausgerichtet ist.