Wie präzediert ein symmetrischer Kreisel und warum?

Question

Wie präzediert ein symmetrischer Kreisel und warum?

Garf

Ich berechne die (momentane) Präzessionsrate einer symmetrischen Spitze (dh $I_1=I_2\neq I_3$ ), die im Winkel geneigt ist $\theta$ zur Vertikalen, wenn ein Drehmoment $\vec{G}$ angewendet wird, wie unten gezeigt:

Es hat eine anfängliche Winkelgeschwindigkeit $\vec\omega$ um die 3. Hauptachse und Anfangsdrehimpuls $\vec{J}$ um die gleiche Achse. Der Drehmomentvektor, $\vec{G}$ kommt aus dem Bildschirm.

Beim Hinzufügen $\delta \vec{J}=\vec{G}\;\delta t$ Zu $\vec{J}$ , kann ich sehen, dass sich der Drehimpulsvektor in eine Richtung bewegen wird, die aus dem Bildschirm herauskommt. Ich weiß jedoch nicht, wie ich rationalisieren soll, wohin es als nächstes gehen wird - wird es um die vertikale oder die horizontale Achse präzedieren? Warum sollte es das eine oder das andere bevorzugen? Die Präzessionsfrequenzen wären jeweils

Ω_{Vertikale} = \frac{G}{J Sünde θ} Ω_{horizontal} = \frac{G}{J \cos θ}

$\Omega_\text{vertical} = \frac{G}{J\sin\theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Omega_\text{horizontal}=\frac{G}{J\cos\theta}$ Siehe Abbildung unten:

BEARBEITEN: Für den Kontext versuche ich, die Präzession der Erde allein aufgrund der Sonne zu finden. Ich modelliere die Erde als symmetrische Spitze genau wie oben, und das Drehmoment kommt von den Gezeitenkräften auf der Erde von der Sonne. Ich habe bereits die Eigenschaften der Scheibe und des Drehmoments berechnet, ich stecke nur fest, um zu erklären, warum sich der Drehimpulsvektor (dh der Süd -> Nordvektor) um eine Achse drehen sollte, die senkrecht zum Erde-Sonne-Radius steht, und nicht parallel dazu Es). Ich denke, die Frage bleibt die gleiche.

Kleonis

Beantwortet das deine Frage? Was bestimmt die Präzessionsrichtung eines Kreisels?

Garf

Nein, ich glaube nicht - hier wird nur gefragt, ob wir im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn drehen, während ich wissen möchte, um welche Achse gedreht wird

Kleonis

Die Antwort mit den meisten Stimmen auf diese frühere Frage macht deutlich, um welche Achse die Präzessionsbewegung stattfinden wird. Es scheint mir, dass die Frage nach der "Präzessionsrichtung" implizit die Frage beinhaltet, auf welcher Achse die Präzessionsbewegung stattfinden wird.

Garf

Könnten Sie dies auf mein Beispiel anwenden und mir sagen, um welche Achse es sich drehen wird?

Garf

Mein Problem mit dieser Antwort ist, dass es sich anscheinend speziell um ein eingeschränktes Gyroskop handelt, das sich um 90 Grad zur Vertikalen dreht. Hier habe ich jedoch keine solche Einschränkung.

Kleonis

Entschuldigung für die Verwirrung - versehentlich unvollständiger Kommentar gepostet, hier der vollständige Kommentar. Die augenblickliche Präzessionsbewegung verläuft um die Achse herum, die sowohl zum augenblicklichen Drehimpulsvektor als auch zum augenblicklichen Drehmomentvektor senkrecht ist. Also: Die augenblickliche Präzessionsbewegung ändert den augenblicklichen Drehimpulsvektor, der wiederum die augenblickliche Präzessionsbewegung beeinflusst. Die resultierende Bewegung besteht darin, dass der Drehimpulsvektor der Erde einen Kegel ausstreicht. Dieser Kegel steht senkrecht zur Ebene der Erdumlaufbahn.

Garf

[Mein Kommentar von oben soll unter Ihrem sein] Liegt die Tatsache, dass dieser Kegel senkrecht zur Umlaufbahn der Erde ist, an der zusätzlichen Einschränkung, dass die Erde die Sonne umkreist, sodass sich das Drehmoment ständig um die vertikale Achse dreht? Das ist das Einzige, was mir einfällt, was hier die Symmetrie bricht. Was würde für ein allgemeines Gyroskop (ohne Umlaufbahn oder so) passieren, oder ist diese Frage zu schlecht definiert?

Kleonis

Stackexchange fordert die Benutzer dringend auf, langwierigen Kommentaraustausch zu vermeiden; eine gesunde Politik, denke ich. Über die frühere Antwort: Diese Antwort diskutiert den symmetrischsten Fall, weil der symmetrischste Fall dem Verständnis am leichtesten zugänglich ist. Sobald man diesen symmetrischsten Fall versteht, verallgemeinert sich das Verständnis auf alle Fälle, einschließlich des speziellen Falls der Erdpräzession. Darüber, ob die Erdumlaufbewegung ein Faktor ist: Das ist ein guter Kandidat für einen eigenen Fragesteller. Sicherlich ist eine gute Antwort darauf zu groß, um in einen Kommentar zu passen.

Antworten (2)

Wie präzediert ein symmetrischer Kreisel und warum?

Beantwortet das deine Frage? Was bestimmt die Präzessionsrichtung eines Kreisels?
Nein, ich glaube nicht - hier wird nur gefragt, ob wir im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn drehen, während ich wissen möchte, um welche Achse gedreht wird
Die Antwort mit den meisten Stimmen auf diese frühere Frage macht deutlich, um welche Achse die Präzessionsbewegung stattfinden wird. Es scheint mir, dass die Frage nach der "Präzessionsrichtung" implizit die Frage beinhaltet, auf welcher Achse die Präzessionsbewegung stattfinden wird.
Könnten Sie dies auf mein Beispiel anwenden und mir sagen, um welche Achse es sich drehen wird?
Mein Problem mit dieser Antwort ist, dass es sich anscheinend speziell um ein eingeschränktes Gyroskop handelt, das sich um 90 Grad zur Vertikalen dreht. Hier habe ich jedoch keine solche Einschränkung.
Entschuldigung für die Verwirrung - versehentlich unvollständiger Kommentar gepostet, hier der vollständige Kommentar. Die augenblickliche Präzessionsbewegung verläuft um die Achse herum, die sowohl zum augenblicklichen Drehimpulsvektor als auch zum augenblicklichen Drehmomentvektor senkrecht ist. Also: Die augenblickliche Präzessionsbewegung ändert den augenblicklichen Drehimpulsvektor, der wiederum die augenblickliche Präzessionsbewegung beeinflusst. Die resultierende Bewegung besteht darin, dass der Drehimpulsvektor der Erde einen Kegel ausstreicht. Dieser Kegel steht senkrecht zur Ebene der Erdumlaufbahn.
[Mein Kommentar von oben soll unter Ihrem sein] Liegt die Tatsache, dass dieser Kegel senkrecht zur Umlaufbahn der Erde ist, an der zusätzlichen Einschränkung, dass die Erde die Sonne umkreist, sodass sich das Drehmoment ständig um die vertikale Achse dreht? Das ist das Einzige, was mir einfällt, was hier die Symmetrie bricht. Was würde für ein allgemeines Gyroskop (ohne Umlaufbahn oder so) passieren, oder ist diese Frage zu schlecht definiert?
Stackexchange fordert die Benutzer dringend auf, langwierigen Kommentaraustausch zu vermeiden; eine gesunde Politik, denke ich. Über die frühere Antwort: Diese Antwort diskutiert den symmetrischsten Fall, weil der symmetrischste Fall dem Verständnis am leichtesten zugänglich ist. Sobald man diesen symmetrischsten Fall versteht, verallgemeinert sich das Verständnis auf alle Fälle, einschließlich des speziellen Falls der Erdpräzession. Darüber, ob die Erdumlaufbewegung ein Faktor ist: Das ist ein guter Kandidat für einen eigenen Fragesteller. Sicherlich ist eine gute Antwort darauf zu groß, um in einen Kommentar zu passen.

Eli · Answer 1

Ich versuche, die Bewegungsgleichungen für Ihren Fall zu schreiben, beginnend mit der Rotationsmatrix

\begin{matrix} (1) & R = R_{X} (θ) R_{j} (β) R_{z} (Ω T) \end{matrix}

$R=R_x(\theta)R_y(\beta)R_z(\Omega\,t)\tag 1$

Wo $\Omega$ ist die Erdrotation und t die Zeit

R_{X} (θ) = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (θ) & - Sünde (θ) \\ 0 & Sünde (θ) & \cos (θ) \end{array}]

$R_x(\theta)=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left( \theta \right) &-\sin \left( \theta \right) \\ 0& \sin \left( \theta \right) &\cos \left( \theta \right) \end {array} \right]$

R_{j} (β) = [\begin{array}{ccc} \cos (β) & 0 & Sünde (β) \\ 0 & 1 & 0 \\ - Sünde (β) & 0 & \cos (β) \end{array}]

$R_y(\beta)= \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) &0&\sin \left( \beta \right) \\ 0&1&0\\ -\sin \left( \beta \right) &0&\cos \left( \beta \right) \end {array} \right]$

R_{z} (Ω T) = [\begin{array}{ccc} \cos (Ω T) & - Sünde (Ω T) & 0 \\ Sünde (Ω T) & \cos (Ω T) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$R_z(\Omega\,t)=\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \Omega\,t \right) &-\sin \left( \Omega\,t \right) &0\\ \sin \left( \Omega\,t \right) &\cos \left( \Omega\,t \right) &0\\ 0&0&1 \end {array} \right]$

Die Euler-Gleichung:

\begin{matrix} (2) & Θ \vec{\dot{ω}} + \vec{ω} \times (Θ \vec{ω}) = \vec{τ} \end{matrix}

$\Theta\,\vec{\dot{\omega}}+\vec{\omega}\times \left(\Theta\,\vec{\omega}\right)=\vec{\tau}\tag 2$

Wo $\Theta$ ist der Trägheitstensor und $\vec{\tau}$ Hilfsmomente :

\vec{τ} = [\begin{matrix} G \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$\vec{\tau}=\begin{bmatrix} G \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

mit Gleichung (1) erhält man die Winkelgeschwindigkeit (die Komponenten sind im körperfesten Rahmen).

mit: $\dot{R}=R\,\tilde{\omega}$ , Wo $\tilde{\omega}$ ist eine Schiefmatrix

$\Rightarrow$

\begin{matrix} (3) & \vec{ω} = J_{R} \vec{\dot{Q}} = [\begin{array}{cc} \cos (β) \cos (Ω T) & Sünde (Ω T) \\ - \cos (β) Sünde (Ω T) & \cos (Ω T) \\ Sünde (β) & 0 \end{array}] [\begin{matrix} \dot{θ} \\ \dot{β} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ Ω \end{matrix}] \end{matrix}

$\vec{\omega}=J_R\,\vec{\dot{q}}= \left[ \begin {array}{cc} \cos \left( \beta \right) \cos \left( \Omega\,t \right) &\sin \left( \Omega\,t \right) \\ -\cos \left( \beta \right) \sin \left( \Omega\,t \right) &\cos \left( \Omega\,t \right) \\\sin \left( \beta \right) &0 \end {array} \right] \,\begin{bmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\beta} \\ \end{bmatrix}+\left[ \begin {array}{c} 0\\ 0\\ \Omega\end {array} \right] \tag 3$

mit dem verallgemeinerten Koordinatenvektor $\vec{q}=\left[\theta\,,\beta\right]^T$ können wir mit Gleichung (3) erhalten

\begin{matrix} (4) & \vec{\dot{ω}} = J_{R} \vec{\ddot{Q}} + \frac{\partial \vec{ω}}{\partial \vec{Q}} \vec{\dot{Q}} + \frac{\partial \vec{ω}}{\partial T} \end{matrix}

$\vec{\dot{\omega}}=J_R\vec{\ddot{q}}+ \frac{\partial\vec{\omega}}{\partial\vec{q}}\vec{\dot{q}}+\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t}\tag 4$

mit $\vec{\dot{\omega}}$ Gleichung (4) und $\vec{\omega}$ Gleichung (3) in Gleichung (2) erhält man die Bewegungsgleichungen für die verallgemeinerten Koordinaten $\vec{\ddot{q}}$

Simulationsergebnisse

1) Blauer Pfeil ist die Startposition der z-Achse

2) roter Pfeil

3) grüner Pfeil

4) Goldpfeil

5) Endposition schwarzer Pfeil

Andreas Steane · Answer 2

Die Antwort wurde in den Kommentaren gegeben, aber hier ist sie vollständiger.

Bei einem Drehimpuls $\bf J$ Richtung ändert, ist dies auf ein Drehmoment zurückzuführen $\bf G$ . Die Bewegungsgleichung ist

G = \frac{D J}{D T}

${\bf G} = \frac{ {\rm d} \bf J}{{\rm d} t}$ Bei Präzession hat man ein Drehmoment

G

$\bf G$ dessen Richtung sich ändert als

J

$\bf J$ tut. Bei einem Kreisel, der auf einem horizontalen Boden ruht, führt die Kombination aus Schwerkraft und der normalen Reaktion des Bodens beispielsweise dazu, dass das Drehmoment immer senkrecht dazu steht

J

$\bf J$ und parallel zum Boden . Wir brauchen diese beiden Eigenschaften, um die Achse festzulegen, um die die Präzession stattfindet. Die Achse muss in diesem Beispiel senkrecht zum Boden stehen.

Im Fall von Erde und Sonne gibt es zwei Aspekte, über die man nachdenken muss. In erster Näherung gibt es überhaupt kein Drehmoment, denn wenn wir die Erde als starren Körper betrachten, wirkt die Schwerkraft der Sonne durch den Massenmittelpunkt, und die Umlaufbahn gleicht dies aus. Das heißt, in einem Rahmen, der an der Erde befestigt ist, erscheint eine Zentrifugalkraft, die gerade stark genug ist, um die Schwerkraft der Sonne auszugleichen $G M m/r^2$ so dass die Erde in diesem Rahmen nicht beschleunigt, aber beide Kräfte wirken durch den Massenmittelpunkt und erzeugen kein Nettodrehmoment.

Dann kommt, wie in den Kommentaren gesagt, der Gezeiteneffekt ins Spiel, wenn die Schwerkraft der Sonne (und des Mondes) die äquatoriale Wölbung der Erde in den Griff bekommt. Diese Effekte erzeugen weitere Kräfte, deren Richtung ein Drehmoment parallel zur Ebene der Umlaufbahn erzeugt und versucht, die Neigung der Erde „richtig“ zu machen. Daher ist die Achse, um die die Präzession stattfindet, senkrecht zur Ebene der Umlaufbahn.

Zusammenfassend dreht sich bei der Antwort auf die Frage alles darum, wie sich die Richtung des Drehmoments mit dem Drehimpuls entwickelt. Insbesondere wenn das Drehmoment immer parallel zur Bahnebene ist, dann ist die Drehimpulskomponente senkrecht zur Bahnebene eine Konstante der Bewegung.

Wie präzediert ein symmetrischer Kreisel und warum?

Garf

Kleonis

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Antworten (2)

Eli

Andreas Steane

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