Hauptträgheitsachsen eines zusammengesetzten Pendels

Question

Hauptträgheitsachsen eines zusammengesetzten Pendels

Physik
Drehimpuls
Trägheitsmoment
Starrkörperdynamik
Hausaufgaben-und-Übungen

Sorën

Ich bin verwirrt über die Hauptträgheitsachsen.

Betrachten Sie das zusammengesetzte Pendel auf dem Bild, das aus einer rechteckigen Platte besteht. I schwingt um eine horizontale Achse $\hat{a}$ durchgehen $A$ . Der Massenmittelpunkt ist innen $C$ .

Auf meinem Buch wird behauptet, da $\hat{a}$ ist parallel zu $\hat{c}$ (die durch den cm verlaufende Achse), die eine Hauptträgheitsachse ist (es ist eine Symmetrieachse), $\hat{a}$ ist auch eine Hauptträgheitsachse. Daher der Drehimpuls des zusammengesetzten Pendels $\vec{L}$ vollständig parallel zur Rotationsachse ist $\hat{a}$ .

Ich verstehe das nicht: $A$ ist keine Symmetrieachse, sondern eine Hauptträgheitsachse, nur weil sie parallel zu einer anderen ist? Wie kann das sein?

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Hauptträgheitsachsen eines zusammengesetzten Pendels

Jannik · Answer 1

Die Antwort ist das Parallelachsentheorem . Es besagt, dass der Trägheitstensor $I_{ij}$ wird unter einer Übersetzung mit Vektor transformieren $\vec{a}$ als

ICH = {ICH}^{(cm)} + M (\begin{matrix} A_{2}^{2} + A_{3}^{2} & - A_{1} A_{2} & - A_{1} A_{3} \\ - A_{1} A_{2} & A_{1}^{2} + A_{3}^{2} & - A_{2} A_{3} \\ - A_{1} A_{3} & - A_{2} A_{3} & A_{1}^{2} + A_{2}^{2} \end{matrix})

$I = I^{(\text{cm})} + m \begin{pmatrix} a_2^2 + a_3^2 & - a_1a_2 & -a_1a_3 \\ -a_1a_2 & a_1^2+a_3^2 & -a_2a_3 \\ -a_1a_3 & -a_2a_3 & a_1^2+a_2^2\end{pmatrix}\\$ Wo

I

$I$ ist der neue Trägheitstensor und

I^{(cm)}

$I^{(\text{cm})}$ ist der Trägheitstensor mit Schwerpunktursprung. Nehmen wir nun an, dass wir uns im Bezugssystem befinden, wo

I^{(cm)}

$I^{(\text{cm})}$ diagonal ist. Dann erfolgt eine Translation entlang einer der Hauptachsen, dh

\vec{a} = a {\vec{e}}_{i}

$\vec{a} = a\; \vec{e}_i$ wird die Diagonalität erhalten, weil alle Mischterme

a_{i} a_{j}

$a_i a_j$ mit

i \neq j

$i\neq j$ verschwindet in der Transformationsmatrix.

Danke für die Antwort! Gilt dies für jede Übersetzung entlang einer Hauptachse? In diesem Beitrag von mir physical.stackexchange.com/questions/246615/… fragte ich nach einer Langhantel, bei der die Rotationsachse nicht durch das CM verläuft, sondern immer noch parallel zu einer Hauptachse verläuft. Trotzdem ist dann die Drehachse keine Hauptachse, wie kann das sein?
Ich denke, Ihr Fehler war, dass Sie das nicht berücksichtigt haben $\vec{\omega} = \frac{\vec{r}\times\vec{v}}{r^2}$ ist nicht invariant unter der Übersetzung. Sie haben also den zu berechnenden Drehpunkt verschoben $\vec{L}$ aber einen anderen Punkt zur Berechnung verwendet $\vec{\omega}$

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Sorën

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Jannik

Sorën

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