Wie ist die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit und Radius in dem gegebenen Problem?

Es gibt normalerweise 2 Phasen in der Bewegung. Zuerst rutscht das Objekt, während es sich möglicherweise auch dreht. Kinetische Reibung verringert die lineare Geschwindigkeit und kann die Winkelgeschwindigkeit verringern oder erhöhen. Diese Phase setzt sich fort, bis der schlupffreie Zustand erreicht ist. In der zweiten Phase findet eine reine Rollbewegung statt.

Es gibt eine kinetische Reibungskraft$F=\mu mg$wirkt auf die Scheibe, was eine lineare Verzögerung bewirkt$a=-\frac{F}{m}$. Diese Kraft übt auch ein Drehmoment aus$Fr=J\alpha$Wo$J=\frac12 mr^2$ist das Trägheitsmoment um den Mittelpunkt der Scheibe. Das Drehmoment bewirkt eine Winkelverzögerung$\alpha=-\frac{Fr}{J}$.

Die Linear- und Winkelgeschwindigkeiten zur Zeit$t$nachdem die Festplatte freigegeben sind$v=v_0-at$Und$\omega=\omega_0-\alpha t$.

Wenn die Scheibe vollständig anhält, bevor die reine Rollbewegung beginnt, dann werden Linear- und Winkelgeschwindigkeit gleichzeitig Null$t$. Dadurch können Sie die Beziehung zwischen finden$v_0, \omega_0$.

Referenz: Gleiten und Rollen – Die Physik einer rollenden Kugel .

Sie müssen das Trägheitsmoment überhaupt nicht verwenden. Sie müssen die Beziehung zwischen einem Winkel, dem Radius eines Kreises und der Bogenlänge des dem Winkel entsprechenden Umfangsstücks kennen. Ich werde Ihnen die Antwort nicht geben, aber stellen Sie sich das in einer Art dreistufigem Prozess vor:

• Wie ist der Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit,$\omega_0$, einer rotierenden Scheibe und wie weit bewegt sich ein Punkt auf dem Umfang dieser Scheibe nach einer bestimmten Zeit t ?
• Stellen Sie sich vor, die Außenseite der Scheibe wäre mit Tinte bedeckt und würde auf einem Stück Papier rollen. Wenn die Scheibe anrollt$\omega_0$für die Zeit$t$, wie lang wäre der Tintenstreifen?
• Was sagt die Länge des Tintenstreifens aus?$v_0$?

Stellen Sie sich diese Dinge vor (oder zeichnen Sie sie aus) und stellen Sie einige Gleichungen auf.

Wie wir wissen, wird, wenn ein Körper auf einer rauen Oberfläche ins Rollen gebracht wird, schließlich einer von zwei Zuständen erreicht:

• Das Objekt wird ein reines Rollen erreichen, wobei die Geschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit so sind, dass der Kontaktpunkt mit dem Boden relativ zum Boden immer in Ruhe ist und so ein Gleichgewicht erreicht wird.
• Die gesamte Energie des Objekts wird dissipiert, wenn es zum Stillstand kommt, dies ist nur ein Sonderfall des oben genannten Umstands, da dies auch die reine Rollbedingung erfüllt. Nun kann die zweite Situation nur bei speziellen Anfangsbedingungen auftreten. Welche Bedingungen das sind, lässt sich wie folgt ableiten:
• Nehmen Sie einen konstanten Wert des Reibungskoeffizienten an
• Notieren Sie die Verzögerungskraft und das Drehmoment auf den Körper zu jedem Zeitpunkt und verwenden Sie die Newtonschen Gesetze, um den Wert der Linear- und Winkelbeschleunigung zu ermitteln
• gemäß dem Problem, wenn v Null erreicht, erreicht dies auch die Rotationsgeschwindigkeit , also verwenden Sie das, um die Bedingung zu erhalten.