Welche physikalische Bedeutung haben die Hauptträgheitsachsen ? Früher dachte ich, dass die Trägheitsachsen gewissermaßen die einzigen Achsen sind, um die sich der Körper drehen kann, ohne dass der Drehimpuls auf andere Achsen „rutscht“. Mit anderen Worten, ich dachte, sie seien die einzigen Achsen, um die der Körper eine einfache Rotationsbewegung um eine Achse ausführen kann, und jeder Versuch, den Körper um eine Nicht-Hauptachse zu drehen, würde zu einer komplexen Bewegung führen, die aus einer Überlagerung besteht von Rotationen um mehr als eine Hauptachse (um es anders auszudrücken, ich dachte, Hauptachsen seien analog zu Normalmoden in schwingenden Systemen, wo das System nur in einer einzigen Frequenz schwingen kann, wenn es sich um eine Normalmode handelt).
Die drehmomentfreie Präzession – oder die allgemeine Bewegung eines symmetrischen, nicht kugelförmigen Kreisels – zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. Ein symmetrischer, nicht kugelförmiger Kreisel hat im Allgemeinen einen Spin um seine obere Achse plus einen zusätzlichen Spin um eine Achse, die einen Winkel mit der oberen Achse bilden kann – und ist im Allgemeinen nicht-hauptsächlich. Was bedeuten also die Hauptträgheitsachsen? Was ist ihre physikalische Interpretation (da jedes Buch, das ich lese, nur sagt, dass sie die Eigenräume des Trägheitstensors sind, was eine Aussage ist, die keinerlei physikalische Bedeutung hat)?
Eine Möglichkeit, es auszudrücken: Sie müssen kein externes Drehmoment aufbringen, um ein Objekt um eine Hauptachse rotieren zu lassen. Um eine konstante Winkelgeschwindigkeit um eine beliebige Achse durch den Massenschwerpunkt aufrechtzuerhalten, die nicht als Hauptachse definiert werden kann, ist ein Drehmoment erforderlich.
Betrachten Sie eine ideale Langhantel mit gleichen Punktmassen, die durch einen masselosen Stab getrennt sind. Sie können es mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um jede beliebige Achse drehen lassen; Beispielsweise könnte es um eine Achse durch den Mittelpunkt der Stange gedreht werden, die einen Winkel von bildet mit der Rute. Jede der Massen würde eine Zentripetalkraft benötigen, um sie in ihrem Kreis in Bewegung zu halten. Da die Kreise nicht koplanar sind, bildet dieses Kräftepaar ein Drehmoment. Sobald Sie aufhören, dieses Drehmoment aufzubringen, wechselt die Langhantel zur Drehung um eine Achse senkrecht zur Stange (die eine Hauptachse ist).
Rotiert ein Körper um eine seiner Hauptachsen, so fällt die Richtung seiner Winkelgeschwindigkeit mit der Richtung seines Drehimpulses zusammen.
Weil , ein Eigenvektor von sein ist äquivalent zu parallel zu sein .
Betrachten Sie die Drehung eines starren Körpers ohne äußere Kräfte oder Drehmomente. Wenn der Drehimpuls genügt
Die einfachste Demonstration dafür ist, ein Buch (oder ein Handy, wenn Sie vorsichtig sind) um jede seiner Hauptachsen zu drehen, die genau das sind, was Sie vermuten würden. Das Buch dreht sich stabil um zwei der Achsen (diejenige, die aus den Seiten des Buchs herauszeigt, und diejenige, die entlang der Seite nach oben zeigt), aber nicht um die dritte (diejenige, die über die Seite zeigt).
Die nicht-Hauptdrehrichtung eines symmetrischen nicht-kugelförmigen Kreisels ergibt sich aus seiner Symmetrie. Da zwei der Eigenwerte gleich sind, gibt es für die Entwicklung von nicht mehr sechs Fixpunkte (zwei für jede Achse). . Stattdessen gibt es zwei, entsprechend der Drehung um die Hauptachse. Wenn nicht an einem dieser Fixpunkte liegt, beschreibt sie einen Kreis. Eine andere Art, dies auszudrücken, ist, dass die Größe der Projektion von auf den zweidimensionalen Eigenraum von ist eine Konstante.
königlich
J. Murray
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