Rotierender Kegel - Finden von Energie und Schwung

Wenn der Kegel rollt, gibt es nur einen Freiheitsgrad. Lassen Sie uns den Winkel verwenden$\varphi$Positionieren des Kegels auf der XY- Ebene, wie unten gezeigt.

Sobald Sie alle beteiligten Größen in einem gemeinsamen Koordinatensystem haben, ist es einfach, sie so zu kombinieren, dass Sie mithilfe von Vektoren und linearer Algebra Energie und Impuls erhalten.

1. Kinematik - Betrachten Sie zwei aufeinanderfolgende Drehungen. Eine um die Z -Achse$\dot{\varphi}$und eine um die Kegelachse$\dot{\theta}$.

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega} & = \boldsymbol{\hat{k}} \dot{\varphi} + \mathrm{Rot}(\boldsymbol{\hat{k}}, \varphi) \boldsymbol{\hat{\imath}} \dot{\theta} \\ & = \pmatrix{0\\0\\1} \dot{\varphi} + \underbrace{ \left|\matrix{\cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1} \right| }_{{\small \mbox{rotation matrix, }}\mathtt{R}}\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0} \dot{\theta} = \pmatrix{\dot{\theta} \cos\varphi \\ \dot{\theta} \sin\varphi \\ \dot{\varphi} } \end{aligned}$$

   _{Die allgemeine Regel für eine Rotationsfolge entlang von Achsen$\boldsymbol{z}_1$,$\boldsymbol{z}_2$... mit Ecken$\theta_1$,$\theta_2$.. Ist}

   $$\boldsymbol{\omega} = \boldsymbol{z}_1 \dot{\theta}_1 + \mathrm{Rot}(\boldsymbol{z}_1,\theta_1) \left( \boldsymbol{z}_2 \dot{\theta}_2 + \mathrm{Rot}(\boldsymbol{z}_2,\theta_2) \left( \boldsymbol{z}_3 \dot{\theta}_3 + \ldots \right) \right)$$

   Der Massenmittelpunkt des Kegels liegt bei$\frac{3}{4}h$von der Spitze, mit Koordinaten

   $$\boldsymbol{r}_C = \pmatrix{\frac{3}{4}h \cos\varphi \\ \frac{3}{4} h \sin\varphi \\ r}$$

   Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ergibt sich durch Differentiation

   $$\boldsymbol{v}_C = \pmatrix{-\frac{3}{4}h \dot{\varphi} \sin\varphi \\ \frac{3}{4} h \dot{\varphi} \cos\varphi \\ 0} = \mathtt{R} \pmatrix{0 \\ \frac{3}{4} h \dot{\varphi} \\ 0}$$

2. Rolling Constraint

   Ich habe den Kontaktpunkt A genannt und die Geschwindigkeit des Kontaktpunkts als gefunden

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_A & = \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{r}_A - \boldsymbol{r}_C ) \\ & = (h \dot{\varphi}+r \dot{\theta} ) \pmatrix{-\sin \varphi \\ \cos \varphi \\ 0} \end{aligned}$$

   Die No-Slip-Einschränkung ist somit gegeben$h \dot{\varphi}+r \dot{\theta}=0$oder

   $$\dot{\theta} = -\frac{h}{r} \dot{\varphi}$$ und damit die Winkelgeschwindigkeit $$\boldsymbol{\omega} = \pmatrix{-\frac{h}{r} \cos\varphi \\ -\frac{h}{r} \sin\varphi \\ 1 } \dot{\varphi}= \mathtt{R} \pmatrix{-\frac{h}{r}\\0\\1}\dot{\varphi}$$

3. Masseneigenschaften - Unter Verwendung einer Referenz für die Masseneigenschaften stellen wir die Massenträgheitsmomentmatrix entlang der Kegelachse am Massenmittelpunkt zusammen

   $$\mathtt{I}_{\rm body} = \left| \matrix{ \frac{3}{10} m r^2 & & \\ & \frac{3}{20}m r^2 + \frac{3}{80} m h^2 & \\ & & \frac{3}{20}m r^2 + \frac{3}{80} m h^2} \right|$$

   und drehen Sie es mit der folgenden Regel um die Weltkoordinaten

   $$\begin{aligned} \mathtt{I}_C = & \mathtt{R}\, \mathtt{I}_{\rm body} \,\mathtt{R}^\intercal \\ & = \left| \begin{array}{ccc} \frac{3\,m\,\left(h^2\,{\sin\left(\varphi \right)}^2-4\,r^2\,{\sin\left(\varphi \right)}^2+8\,r^2\right)}{80} & -\frac{3\,m\,\sin\left(2\,\varphi \right)\,\left(h^2-4\,r^2\right)}{160} & 0\\ -\frac{3\,m\,\sin\left(2\,\varphi \right)\,\left(h^2-4\,r^2\right)}{160} & \frac{3\,m\,\left(-h^2\,{\sin\left(\varphi \right)}^2+h^2+4\,r^2\,{\sin\left(\varphi \right)}^2+4\,r^2\right)}{80} & 0\\ 0 & 0 & \frac{3\,m\,\left(h^2+4\,r^2\right)}{80} \end{array} \right| \end{aligned}$$ Wo$\mathtt{R}$ist die 3×3-Orientierungsmatrix des Körpers.

4. Impuls - Linearer und Drehimpuls werden mit linearer Algebra ermittelt

   $$\left. \begin{aligned} \boldsymbol{p} &= m \boldsymbol{v}_C \\ \boldsymbol{L}_C & = \mathtt{I}_C \boldsymbol{\omega} \end{aligned} \right\} \begin{aligned} \boldsymbol{p} &= \mathtt{R} \pmatrix{0 \\ m \frac{2}{3} h \dot{\varphi} \\ 0} \\ \boldsymbol{L}_C & = \mathtt{R} \pmatrix{-m \frac{3}{10} h r \dot{\varphi} \\ 0 \\ m \frac{3}{80} (h^2+4 r^2) \dot{\varphi} } \end{aligned}$$

5. Kinetische Energie - Sie müssen die linearen und winkligen kinetischen Energiekomponenten addieren, die an einer konsistenten Position und Ausrichtung definiert sind. Der Einfachheit halber wähle ich den Schwerpunkt.

   $$\begin{aligned} K & = \frac{1}{2} \boldsymbol{v}_C^\intercal m \boldsymbol{v}_C + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^\intercal \mathtt{I}_C \boldsymbol{\omega} \\ & = \frac{9 h^2 m}{32} \dot{\varphi}^2 + \frac{3 m (9 h^2 +4 r^2)}{160} \dot{\varphi}^2 = \frac{3 m (6 h^2 +r^2)}{40} \dot{\varphi}^2 \end{aligned}$$

Wenn es also um 3D-Dynamik geht, arbeiten Sie immer mit Vektoren und Matrizen, um sicherzustellen, dass Sie alle Komponenten korrekt erhalten. Wenn Sie versuchen, es in einem Schritt durch Inspektion herauszuarbeiten, werden Sie scheitern. Sie müssen in der Dynamik sehr prägnant und detailliert sein.