Die größte Rotationsträgheit eines Systems?

Betrachten Sie dieses Szenario: Es gibt N winzige Kugeln (winzig bedeutet, dass wir mehrere Kugeln an einem Ort fixieren können) mit Masse M 1 , M 2 , . . . in einem Stock befestigt, wobei wir die Masse des Stocks ignorieren können. Jetzt rotieren wir das System (Stick und Kugeln) um den Schwerpunkt. Ich habe das Gefühl, dass die größte Rotationsträgheit erreicht wird, wenn sich die Hälfte der Kugelmasse an einem Punkt des Stocks befindet, während sich die andere Hälfte am gegenüberliegenden Punkt des Stocks befindet. Aber ich weiß nicht, wie ich das mathematisch beweisen soll?

Kann man immer teilen N verschiedene Massen in zwei Hälften?
Warum sich die Mühe machen, es mathematisch zu beweisen, wenn die physikalische Intuition stimmt? Schließlich hätten wir, wenn wir auf rigorose Mathematik warten müssten, die klassische Mechanik erst drei Jahrhunderte nach der Erfindung der Infinitesimalrechnung. Beweise gibt es in verschiedenen Varianten, sowohl in der Physik als auch in der Mathematik.
@Righter Ja, du hast recht.
@MoziburUllah: Aber das OP hat nicht " strenge Mathematik" gesagt. Und Ihre Bedingung "wenn die physikalische Intuition stimmt" schränkt den Umfang und die Relevanz Ihres Kommentars massiv ein. Mathe kann helfen, unsere physische Intuition zu bestätigen oder zu widerlegen; es kann dabei helfen, implizite Bedingungen/Annahmen hervorzurufen, die für die Gültigkeit der Schlussfolgerung erforderlich sind; es kann helfen, das Ergebnis überzeugend an diejenigen zu kommunizieren, die unsere körperliche Intuition (noch) nicht teilen; und es kann helfen, das Ergebnis auf Situationen auszudehnen, für die wir (noch) keine körperliche Intuition haben.

Antworten (1)

Wenn es gibt N Kugeln ist die Gesamtmasse aller Kugeln M und die Länge des Stocks ist L

Eine Anordnung wie z A wäre nicht maximal, da wir das Trägheitsmoment brauchen und es davon abhängt M ich D 2 und das D ich könnte größer sein, wenn Sie nach Vereinbarung gehen B

Wenn wir einen Teil der Masse bewegten k M von einem Ende B zu machen C , die COM ist jetzt ein Abstand k L von einem Ende und ( 1 − k ) L von der anderen.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das Trägheitsmoment für B Ist

(1) M L 2 4

Für C es ist ( k L ) 2 ( 1 − k ) M + ( ( 1 − k ) L ) 2 k M und das vereinfacht zu

(2) k ( 1 − k ) M L 2

Ausdruck 2) ist nur dann größer als 1).

(3) k ( 1 − k ) > 1 4
(4) 4 k 2 − 4 k + 1 < 0

(5) ( 2 k − 1 ) 2 < 0

Das ist nicht möglich, obwohl wir es bekommen können 0 Wenn k = 1 / 2 .

So verändert sich der Anteil der Masse an den Enden B kann das Trägheitsmoment nicht erhöhen. Wenn ein Teil der Masse von einem Ende bewegt wurde B an eine Stelle nicht am anderen Ende der Stange, das würde nicht helfen, also Anordnung B ergibt das maximale Trägheitsmoment.

Der k − 1 Ausdrücke auf den Diagrammen hätten sein sollen 1 − k
Danke für die Antwort. Mich irritiert vor allem die Anordnung A . Lassen Sie uns Anordnung bauen A aus Anordnung C . Um konkreter zu werden, nehmen wir an, es gibt eine winzige Masse, die von der linken Seite des Stocks zur rechten Seite des Massenmittelpunkts verläuft (wir könnten es nennen Ö nachfolgend) des Stocks, ohne das rechte Ende zu erreichen. Dieser Fall ist nicht offensichtlich, und ich bin hauptsächlich damit verwirrt.
@ Sherlock, ja, es ist nicht offensichtlich, aber aus der Hauptantwort heraus hätte das Bewegen von nur einer Masse von links nach ganz rechts ein geringeres Trägheitsmoment als B . Auch das Bewegen eines von ganz links zu einem Punkt, der nicht ganz rechts ist, wäre noch niedriger, da es so ist, als würde man sich mit einem kleineren Stock ganz nach rechts bewegen, also müsste er niedriger als enden B . A wäre definitiv niedriger als B als die ∑ M ich R ich 2 wäre niedriger als für viele der Massen die R ich niedriger sind als B und der COM liegt in beiden Fällen in der Mitte.
Die größte Rotationsträgheit eines Systems?
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