Bedeutung des Parallelachsensatzes: Warum ist das Trägheitsmoment minimal, wenn die Achse durch das CM verläuft?

Es gibt einige Möglichkeiten, dies zu rechtfertigen.

Zuerst könnten Sie die Bewegung des Objekts betrachten, während es sich dreht. In 2D stellt sich heraus, dass alle diese Bewegungen in Bewegung des CM und Rotation um das CM zerlegt werden können. Daher ist das Drehen um das CM selbst der einzige Weg, um sicherzustellen, dass sich das CM nicht bewegt, und ist daher der energetisch am wenigsten kostspielige.

Ein anderer Weg ist der direkte Kalkül. Angenommen, ein 1D-Objekt besteht aus Punktmassen an bestimmten Positionen$x_i$mit Massen$m_i$. Dann

$$I(x) = \sum m_i (x_i-x)^2$$ handelt es sich um das Trägheitsmoment $x$. Das Minimum ist erreicht, wenn die Ableitung Null ist, also $$0 = 2 \sum m_i (x_i - x)$$ was das impliziert $$x = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}.$$ Dies ist die Definition des Massenmittelpunkts.

Dass das Trägheitsmoment um eine durch das CM verlaufende Achse in Bezug auf alle anderen parallelen Achsen minimiert wird, ist eine Folge der quadratischen (quadratischen) Abhängigkeit des Trägheitsmoments vom Abstand. Mit anderen Worten, die${r^2}$Begriff ein${I=mr^2}$bewirkt, dass weiter entfernte Massen in ihrem Beitrag zum Gesamtmoment bevorzugt gewichtet werden. Wie Sie sagten, hängt das Trägheitsmoment für ein bestimmtes Objekt somit von der Verteilung (Abständen) der Massen um die gewählte Achse ab.

Bei einem gegebenen Drehmoment kann man Objekten mit geringerem Moment eine größere Winkelbeschleunigung auferlegen. Dies zeigt sich in der Relation${\tau=I\alpha}$(analog zu$F=ma$), Wo$\alpha$Winkelbeschleunigung ist. Umstellen, bekommen wir$\alpha=\tau/I$, So$\alpha$ist am größten, wenn$I$ist am kleinsten.

Intuitiv kann man verstehen, wie die Winkelbeschleunigung um das CM maximiert wird, indem man sich vorstellt, wie man einen Metallstab dreht. Stellen Sie sich vor, Sie halten die Stange an ihrem Ende und drehen sie – es ist schwierig. Stellen Sie sich vor, Sie halten dieselbe Stange in der Mitte und drehen sie – es ist etwas einfacher.

Um das obige Szenario mathematisch zu beschreiben, können wir einen eindimensionalen Massenstab betrachten$m$davor weglaufen${x=0}$Zu$x=l$. Das Trägheitsmoment um eine Achse, die senkrecht zum Stab verläuft, bei$x=0$(Drehen der Stange um ihr Ende) ist gegeben durch

$I_{end}=\int_{0}^{l}\rho x^2 dx = \frac{m}{3}l^2$, Wo$\rho=m/l$ist die Massendichte des Stabes.

Das Moment um eine Achse durch die Stabmitte,$x=l/2$, Ist

$I_{mid}=\int_{-l/2}^{l/2}\rho x^2 dx = \frac{m}{12}l^2$.

Beachten Sie, dass$I_{mid}<I_{end}$.

Bei einem allgemeineren Ansatz könnten wir das Moment um jede senkrechte Achse berechnen, die bei einem beliebigen Wert x platziert ist, als

$I_{x}=\int_{0-x}^{l-x}\rho x^2 dx = \frac{1}{3}\rho(l-x)^3-\frac{1}{3}\rho(0-x)^3$.

Diese Funktion$I_{x}(x)$hat ein Minimum im Schwerpunkt, wenn$x=l/2$.