Wie definieren wir formal den "Winkelgeschwindigkeitsvektor" eines Punktes um eine Achse?

Für einen Punkt sprechen Sie über seine Geschwindigkeit. Durch Sprachmissbrauch, für eine Achse ausgerichtet auf $\vec{n}$Ich habe Menschen zu Winkelgeschwindigkeit des Punktes um die Achse so beziehen gesehen $\dot{\theta}\hat{n}$, Das heißt, wenn man die Koordinaten des Punktes in einem zylindrischen Koordinatensystem mit den Koordinaten auszudrücken $(\rho, \theta, z)$in denen n$\hat{n}$ ist auf die Zylinderachse ausgerichtet.

Soweit ich weiß, ist dies kein Standard und im Allgemeinen eher zweideutig.

Es gibt jedoch eine physikalische Möglichkeit, sich dies vorzustellen. Stellen Sie sich einen (unendlich ausgedehnten) starren Körper vor, der nur eine Schraubenbewegung und/oder Drehung um die gegebene Achse ausführen kann, so dass der gegebene Bewegungspunkt in Bezug auf diesen starren Körper stationär ist. Dann ist die "Winkelgeschwindigkeit des bezüglich der Achse definierten Punktes" identisch mit der Winkelgeschwindigkeit des oben erwähnten starren Körpers.

Ich würde jedoch sagen, dass es am besten ist, nicht über die Winkelgeschwindigkeit eines so definierten Punktes zu sprechen, da dies von der Wahl des Ursprungs abhängt (sogar im gleichen Bezugssystem).

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Andererseits gibt es für einen starren Körper eine sehr genaue Vorstellung von der Winkelgeschwindigkeit, die nicht von der Wahl des Ursprungs abhängt, solange Sie sich an den gleichen Rahmen halten.

Um die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers zu definieren, müssen Sie das Geschwindigkeitsfeld $\mathbf{v}(\mathbf{r})$in einem vorgegebenen Rahmen. Die Steifigkeitsbeschränkung impliziert dann, dass in einem kartesischen Koordinatensystem das Geschwindigkeitsfeld zerlegt werden kann in

$$\mathbf{v}(\mathbf{r}) = \mathbf{v}_0+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0).$$

Es kann gezeigt werden, dass $\omega$ ist unabhängig vom Ursprung des Koordinatensystems (vgl. zB Landau-Lifshitz-Mechanik).

So können Sie sehen , dass $\mathbf{\omega}$ist eine Größe, die sich aus der kollektiven Bewegung aller Punkte auf dem starren Körper ergibt. Und dies ist die allgemein akzeptierte Standarddefinition der Winkelgeschwindigkeit für einen starren Körper.

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MISSBRAUCH DER SPRACHE

Die Frage spricht von "der Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers um die 'Achse'" - dies ist eine bedeutungslose Phrase, wenn Sie den Bezugsrahmen nicht angeben. Zum Beispiel könnte man zu einem anderen Frame wechseln, der sich mit einer Winkelgeschwindigkeit Ω . um die Achse dreht$\Omega$. In diesem Fall würde sich die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers um die Achse ändern, obwohl die 'Achse' im geänderten Bezugssystem keine zusätzliche Geschwindigkeit erhalten würde.

Lange Rede, kurzer Sinn: Eine Achse gibt keinen Referenzrahmen an. Sie benötigen zwei weitere senkrechte Achsen (und was sie tun), um die Geschichte zu vervollständigen.

Ich glaube, die Frage, so wie sie steht, hat viel Sprachmissbrauch und ist ziemlich zweideutig.

Winkelgeschwindigkeitsvektor eines Punktes $A$, relativ zu einem stationären Punkt $B$:

$\vec\omega_B[ \, A \, ] = \frac{(\vec r_A - \vec r_B) \times \vec v_B[ \, A \, ]}{(| \vec r_A - \vec r_B |)^2}$

Rechts. (Und ich hoffe, meine Wahl der Notation stört Sie nicht.)

Entsprechend ist der Geschwindigkeitsvektor von $A$relativ zu (dem Inertialsystem mit) $B$ kann zerlegt werden als

$\vec v_B[ \, A \, ] = \vec v_B[ \, A \, ]^{\text{(radial)}} + \vec v_B[ \, A \, ]^{\text{(tangential)}}$,

wo

$\vec v_B[ \, A \, ]^{\text{(radial)}} := (\vec r_A - \vec r_B) \frac{\vec v_B[ \, A \, ] \cdot (\vec r_A - \vec r_B)}{(| \vec r_A - \vec r_B |)^2}$,

so dass auch

$\vec\omega_B[ \, A \, ] = \frac{(\vec r_A - \vec r_B) \times \vec v_B[ \, A \, ]^{\text{(transversal)}}}{(| \vec r_A - \vec r_B |)^2}$.

Wie definieren wir formal den "Winkelgeschwindigkeitsvektor" eines Punktes um eine Achse ?

Für eine gerade, dünne Achse mit Richtung $\vec x$und Punkt $P$auf der Achse, die (momentan) am nächsten zu $A$, dh so dass

$\vec x \, \cdot \, (\vec r_A - \vec r_P) = 0$,

Ich würde vorschlagen

$\vec\omega_P[ \, A \, ]^{(\text{direction } \vec x)} := (\vec x) \frac{\vec x \, \cdot \, \vec\omega_P[ \, A \, ]}{(| \vec x |)^2}.$

Dementsprechend ist der Tangentialgeschwindigkeitsvektor von $A$relativ zu $P$ kann weiter zerlegt werden als

$\vec v_P[ \, A \, ]^{\text{(tangential)}} = \vec v_P[ \, A \, ]^{(\text{tang. along } \vec x)} + \vec v_P[ \, A \, ]^{(\text{tang. across } \vec x)},$

so dass

$\vec\omega_P[ \, A \, ]^{(\text{direction } \vec x)} = \frac{(\vec r_A - \vec r_P) \times \vec v_P[ \, A \, ]^{(\text{trans. across } \vec x)}}{(| \vec r_A - \vec r_P |)^2}$.

Während die Komponente $\vec v_P[ \, A \, ]^{(\text{tang. along } \vec x)} = 0$, Punkt $P$, wobei der Achsenpunkt am nächsten zu $A$, bleibt fest. (Was bei bestimmten Berechnungen praktisch sein kann.)

In Bezug auf einen anderen Punkt $Q$, die ebenfalls zur betrachteten Achse gehört und bequemerweise fixiert werden kann, während der Punkt $P$wird nur augenblicklich definiert und kann sich aufgrund von Nicht-Null ändern $\vec v_P[ \, A \, ]^{(\text{tang. along } \vec x)}$

$\vec r_A - \vec r_P = (\vec r_A - \vec r_Q) - (\vec r_P - \vec r_Q) = (\vec r_A - \vec r_Q) - (\vec x) \frac{(\vec r_A - \vec r_Q) \, \cdot \, \vec x}{(| \vec x |)^2},$

und die Winkelgeschwindigkeitsvektoren $\vec\omega_P[ \, A \, ]$sowie $\vec\omega_P[ \, A \, ]^{(\text{direction } \vec x)}$kann entsprechend in Bezug auf Q . ausgedrückt werden$Q$.

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ps

Als Beispiel präsentiere ich: [...] $|\vec \Omega| = \omega / 5$.

Ich finde dies ziemlich offensichtlich, wenn man nur Geometrie und Kinematik berücksichtigt:

Der "Rollradius um Punkt $O$" des (momentanen) Kontaktpunktes der kleinen Scheibe mit der Tischoberfläche ist $R_{sd} = \sqrt{ \ell^2 + a^2 } = \sqrt{ (\sqrt{24}~a)^2 + a^2 } = 5~a$, was offensichtlich $5$ mal den Radius der kleinen Scheibe.

Ebenso ist der "Rollradius um Punkt $O$" des (momentanen) Kontaktpunktes der großen Scheibe mit der Tischoberfläche $R_{ld} = \sqrt{ (2~\ell)^2 + (2~a)^2 } = 10~a$, dh $5$ mal den Radius der großen Scheibe.

Folglich sind fünf volle Umdrehungen des Zweischeibenkegels um seine Achse erforderlich, um eine volle Runde auf dem Tisch um den Punkt O . zu rollen$O$.

Wie definiert man formal die Winkelgeschwindigkeit?

Stellen Sie sich einen starren Körper vor, dessen Massenmittelpunkt fest ist und der sich frei um ihn drehen kann. Was sind alle erlaubten Bewegungen?

Definitionsgemäß sind bei einem starren Körper alle Abstände zwischen einzelnen Teilchen festgelegt.

Lemma 1 Bild zwei beliebige Teilchen auf einem starren Körper mit den Orten $\boldsymbol{r}_i$und $\boldsymbol{r}_j$die sich im Laufe der Zeit bewegen. Die erlaubten Bewegungen sind so , daß die Relativgeschwindigkeiten sein müssen zwischen den Teilchen auf die Trennung senkrecht

$$(\boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j) \cdot ( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) = 0 \tag{1}$$

_{hier $\cdot$ist das Vektorpunktprodukt und fett gedruckte Buchstaben sind Vektoren.}

Nachweisen

Der konstante Abstand (quadratisch) zwischen den Punkten ist

$$d_{ij}^2 = ( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) \cdot ( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) \tag{2}$$

Nimm die Zeitableitung und setze sie auf Null

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} d_{ij}^2 = 0 \tag{3}$$

Verwenden der Produktregel

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t} d_{ij}^2 = \frac{\rm d}{{\rm d}t}( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) \cdot ( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) + ( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}t}( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) = 2 ( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}t}( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) = 0$$

und schließlich durch 2 teilen und $\frac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{r} = \boldsymbol{v}$ bekommen

$$( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) \cdot ( \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j ) = 0 \;\checkmark$$

Lemma 2 Die einzig erlaubte Relativbewegung zwischen zwei Teilchen wird durch einen einzigen konstanten Vektor $\boldsymbol{\omega}$was zu Geschwindigkeiten senkrecht dazu führt und den Abstand

$$\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j = \boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j ) \tag{4}$$

_{Hier $\times$ ist das Vektorkreuzprodukt.}

Nachweisen

Ersetze (4) in (1) um zu erhalten

$$( \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j) \cdot \boldsymbol{\omega} \times \left((\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j) \right) \tag{5}$$

Mit $\boldsymbol{r}_{ij} = \boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j$ das obige ist

$$\boldsymbol{r}_{ij} \cdot \left( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{ij} \right) = 0 \,\checkmark$$

Das ist hier eine versteckte Implikation. Da i und j beliebig sind und die obigen Ausdrücke für alle Teilchenpaare gelten müssen, impliziert dies, dass es mindestens ein festes $\boldsymbol{\omega}$was (1) erfüllt, da das unten in (6) gezeigte Geschwindigkeitsfeld (1) löst. Dies schließt die Möglichkeit anderer variierender Vektoren $\boldsymbol{\omega}_{\rm ij}$ die (1) erfüllen.

_{Denken Sie in gewisser Weise an $\boldsymbol{\omega}$als Abkürzung, um den Bewegungszustand des starren Körpers zu beschreiben, wie das nächste Lemma zeigt. Aber die Einzigartigkeit von $\boldsymbol{\omega}$kommt eigentlich von der zeitlichen Ableitung auf einem rotierenden Rahmen, wobei unter Verwendung der Geometrie ein Ausdruck für die Drehung eines Vektors entwickelt wird und dann, wenn die zeitliche Ableitung ausgewertet wird, die Eindeutigkeit einer einzelnen Rotationsachse die Eindeutigkeit von $\boldsymbol{\omega}$.}

Lemma 3 Der Vektor $\boldsymbol{\omega}$beschreibt die Richtung und den Betrag der Drehung des starren Körpers, der verwendet wird, um den Geschwindigkeitsvektor aller Punkte auf dem Körper zu finden, wenn die Geschwindigkeit eines Punktes gegeben ist.

Beweis Wenn wir die Geschwindigkeit von Punkt j kennen, dann ist die Geschwindigkeit von Punkt i gegeben durch (4)

$$\boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{v}_j + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j) \,\checkmark$$

Lemma 4 Wenn ein Punkt einer reinen Translation unterliegt, behalten alle anderen Punkte die Geschwindigkeitskomponente parallel zur Rotationsachse. Die Parallelkomponente lässt sich als Anteil der Rotationsgeschwindigkeit beschreiben.

Beweis Wiederum, wenn die Bewegung des Punktes j bekannt ist als $\boldsymbol{v}_j = h\,\boldsymbol{\omega}$wo $h$ ein skalarer Wert ist, dann sind die Geschwindigkeiten aller anderen Punkte

$$\boldsymbol{v}_i = h\,\boldsymbol{\omega} + \underbrace{\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j) }_{\text{always perpendicular to }\boldsymbol{\omega}} \tag{6}$$

Lemma 5 Umgekehrt ist der allgemeine Geschwindigkeitsvektor $\boldsymbol{v}_j$wenn ein bekannter Ort $\boldsymbol{r}_j$, findet man mindestens einen Ort im Raum $\boldsymbol{r}_i$dessen Geschwindigkeitsvektor streng parallel zum Rotationsvektor ist. Dies beschreibt die momentane Drehachse und wird gefunden mit

$$\boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{r}_j + \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_j}{ \| \boldsymbol{\omega} \|^2} \tag{7}$$

_{Hier $\| \boldsymbol{\omega} \|$die Drehzahl ist und $\|\boldsymbol{\omega}\|^2 = \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega}$.}

Beweis Verwenden Sie (7) in (4), um zu zeigen, dass nur $\boldsymbol{v}_i = h\,\boldsymbol{\omega}$ ist erlaubt

$$\boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j = \boldsymbol{\omega} \times \left( \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_j }{\| \boldsymbol{\omega} \|^2} \right) = \frac{ \boldsymbol{\omega} (\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{v}_j) - \boldsymbol{v}_j ( \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega}) }{\| \boldsymbol{\omega} \|^2}$$

_{Hier verwende ich die Vektor-Tripelproduktidentität $a \times ( b \times c) = b(a \cdot c) - c (a \cdot b)$.}

$$\boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j = \frac{ \boldsymbol{\omega} (\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{v}_j) }{\| \boldsymbol{\omega} \|^2} - \boldsymbol{v}_j$$

$$\boldsymbol{v}_i = \left(\frac{ \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{v}_j }{\| \boldsymbol{\omega} \|^2} \right) \boldsymbol{\omega} = h\,\boldsymbol{\omega}\,\checkmark$$

Lemma 6 Der parallele Skalarwert (Pitch) ergibt sich aus der Bewegung eines beliebigen Punktes j und der Drehung mit

$$h = \frac{ \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{v}_j }{\| \boldsymbol{\omega} \|^2} \tag{8}$$

Beweis Siehe Beweis des vorherigen Lemmas.