Momentane Rotationsachse und Rollkegelbewegung

Lassen Sie den Kegel auf dem liegen$\hat{X}\wedge \hat{Y}$Ebene (z = 0) und lassen Sie die$z$Achse diese Ebene an der Spitze des Kegels durchbohren. Wenn der halbe Winkel des Kegels ist$\alpha$, dann ist seine Symmetrieachse als Funktion der Zeit durch den Vektor definiert

Wo$\omega_0 = 2\pi/\tau$Und$\tau$ist die Zeit, die der Kegel benötigt, um genau einen Kreis auf dem zu machen$\hat{X}\wedge \hat{Y}$Ebene. Die Symmetrieachse des Kegels dreht sich also mit Winkelgeschwindigkeit$\omega_0\,\hat{Z}$. Ich definiere meine Richtungen und Symbole unten:

Wenn der Kegel nicht rutscht, bedeutet dies, dass die Drehung um die Achse$A(t)$hat eine Winkelgeschwindigkeit$- \omega_0 A(t)/\sin\alpha$. Skizzieren Sie den Kegel in der Nähe der Spitze, um dies zu sehen: in der Ferne$R$entlang der Kante (definiert durch den Vektor$\cos(\omega_0\,t) \hat{X} + \sin(\omega_0\,t) \hat{Y}$) im$\hat{X}\wedge \hat{Y}$Ebene, wo der Kegel auf die Ebene trifft, bewegt sich die Spitze dieser Kante mit Geschwindigkeit$v_e=\omega_0\,R$. Der kreisförmige Kegelquerschnitt (orthogonal zur Rotationssymmetrieachse des Kegels) durch diesen Punkt ist wie ein Radiusrad$r=R\,\sin\alpha$schräg nach innen gewölbt$\alpha$. Dieses "Rad" muss sich mit Winkelgeschwindigkeit drehen$-\omega_0\,R\,A(t)/r$so dass die Geschwindigkeit seines Randes ist$-v_e=-\omega_0\,R$um die Geschwindigkeit auszugleichen$v_e=\omega_0\,R$der Kante an dieser Stelle und halten Sie die Radspitze, die den Boden berührt, stationär.

Wir addieren diese beiden Winkelgeschwindigkeiten und erhalten:

die, wie Sie richtig erraten haben, immer entlang der Linie verläuft, an der der Kegel auf die Ebene trifft.

Die momentane Geschwindigkeit eines Punktes auf der Symmetrieachse des Kegels in einer Entfernung$h$von der Basis ist$|\Omega|\,h\,\sin\alpha = \omega_0\,h\,\cot\alpha\,\sin\alpha = \omega_0 \,h\,\cos\alpha$($|\Omega|$mal wie du sagst, der orthogonale abstand$h\,\sin\alpha$des Punktes von der momentanen Rotationsachse.

Beachten Sie, dass wir die gleiche Antwort erhalten, wenn wir diese Geschwindigkeit einfach für eine Winkelgeschwindigkeit ausrechnen$\omega_0\,\hat{Z}$, was gilt, weil die Kegelachse wegen der Drehung in der Richtung keine Geschwindigkeit hat$A(t)$. Der Punkt auf der Symmetrieachse des Kegels ist ein Abstand$h\,\cos\alpha$von dem$\hat{Z}$Achse. Damit ist die Geschwindigkeit nach wie vor$\omega_0\,h\,\cos\alpha$.