Die Antwort hängt davon ab, was die Symbole bedeuten. Die Frage macht nicht deutlich, wie die Symbole definiert sind. Die verwirrendste Menge ist$\omega_2$. Wie ist das definiert? Ist es die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe relativ zu den festen Laborachsen oder relativ zu der Achse, um die sie sich dreht (wobei sich diese Achse selbst dreht$\omega_1$)? Auch wofür ist die Vorzeichenkonvention$\omega_1$? Das Problem besagt das$\omega_1$dreht sich im Uhrzeigersinn, ist also positiv$\omega_1$soll rechtsdrehung oder linksdrehung bedeuten? Wir werden sehen, dass unterschiedliche Antworten auf diese Fragen unterschiedliche Ausdrücke für die kinetische Energie ergeben – einer gibt Ihre Antwort und der andere seine Antwort. Daher denke ich, dass der ultimative Grund für Meinungsverschiedenheiten die Verwirrung darüber ist, was die Symbole bedeuten.

Lassen Sie uns zuerst das Problem lösen, indem wir eine Bedeutung für die Symbole verwenden, und den Ausdruck für die kinetische Energie erhalten, dann werden wir sehen, wie sich der Ausdruck ändert, wenn wir verschiedene Bedeutungen für die Symbole verwenden. Ich werde "Ihre" Definition verwenden, wo positiv$\omega_1$Und$\omega_2$beide zeigen Drehungen gegen den Uhrzeigersinn und die Bedeutung von an$\omega_2$ist die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe um ihren Massenmittelpunkt relativ zum festen Laborrahmen.

Dann wissen wir, dass der Schwerpunkt der Scheibe eine Geschwindigkeit hat$\omega_1 d$, und die Scheibe dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit$\omega_2$in Bezug auf die Laborachsen. Dann können wir die kinetische Energie mit dem folgenden Ergebnis erhalten: Die kinetische Energie eines starren Objekts ist die Summe eines Translationsstücks$T_{\textrm{trans}}$gegeben von$T_{\textrm{trans}}=\dfrac{1}{2} m v_{cm}^2$und ein Rotationsstück$T_{\textrm{rot}}$gegeben von$T_{\textrm{rot}}=\dfrac{1}{2}I \omega^2$Wo$m$ist die Masse des Objekts,$v_{cm}$ist seine Schwerpunktgeschwindigkeit,$\omega$ist seine Winkelgeschwindigkeit um seinen Massenmittelpunkt und$I$ist sein Trägheitsmoment um seinen Massenschwerpunkt (dies ist im Anhang gezeigt). Verwenden$v_{cm} = \omega_1 d$,$\omega = \omega_2$, Und$I=\frac{1}{2}mr^2$, finden wir die gesamte kinetische Energie$T$wird von gegeben$T=\dfrac{1}{2}m \omega_1^2 d^2 + \dfrac{1}{4} m \omega_2^2 r^2$. Das ist der Ausdruck, den Sie haben.

Sehen wir uns nun an, was passiert, wenn wir stattdessen die kinetische Energie nicht als absolute Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ausdrücken$\omega_2$, sondern die Winkelgeschwindigkeit$\omega'_2$der Scheibe relativ zur Achse. Dann ist die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe relativ zum Laborrahmen die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe relativ zur Achse plus die Winkelgeschwindigkeit der Achse relativ zur Scheibe. Das ist,$\omega_2 = \omega'_2 + \omega_1$. Setzen wir dies in unsere Gleichung für kinetische Energie ein, erhalten wir$T=\dfrac{1}{2}m \omega_1^2 d^2 + \dfrac{1}{4} m (\omega'_2 + \omega_1)^2 r^2$. Nehmen wir nun an, wir wollen diese kinetische Energie in Form von ausdrücken$\omega'_1$, Wo$\omega'_1$ist positiv für Drehungen im Uhrzeigersinn und negativ für Drehungen gegen den Uhrzeigersinn; das ist,$\omega'_1= -\omega_1$. Dann wird der Ausdruck für die kinetische Energie$T=\dfrac{1}{2}m \omega_1^2 d^2 + \dfrac{1}{4} m (\omega'_2-\omega'_1)^2 r^2$. Das ist jetzt sein Ausdruck. Es scheint also, dass der einzige Unterschied darin bestand, was Sie mit Ihren Variablen gemeint haben

Anhang

$\newcommand{\r}{\mathbf{r}}$ $\newcommand{\v}{\mathbf{v}}$ $\newcommand{\w}{\boldsymbol\omega}$Hier werde ich die einzige Physik in dem Problem erklären, nämlich dass die kinetische Energie eines starren Körpers in einen Teil zerlegt werden kann, der die Translationsenergie des Massenzentrums liefert, und einen Teil für die Rotation um das Massenzentrum. Irgendwann wird dieses Objekt durch ein räumliches Dichteprofil beschrieben$\rho(\r)$und ein räumliches Geschwindigkeitsprofil$\mathbf{v}(\r)$. Da der Körper starr ist, ist das Geschwindigkeitsprofil$\mathbf{v}(\r)$muss das Formular haben$\mathbf{v}(\r) = \mathbf{v}_0 + \w \times \r$, Wo$\w$ist die Winkelgeschwindigkeit. Die kinetische Energie ist gegeben durch$T=\dfrac{1}{2}\int \rho(\r) v^2(\r) d\r$.

Um zu sehen, wie dies in Massenschwerpunktsgrößen zerlegt werden kann, müssen wir die Massenschwerpunktsgrößen definieren. Lassen Sie uns die Gesamtmasse definieren$m$des Objekts zu sein$m=\int \rho(\r)d\r$, und lassen Sie uns die Position des Massenmittelpunkts definieren$\r_{cm}$von$\r_{cm} = \dfrac{1}{m} \int \r \rho(\r) d \r$. Lassen Sie uns die Schwerpunktgeschwindigkeit definieren$\v_{cm}$die Ableitung der Schwerpunktposition sein, die durch den Ausdruck gegeben ist$\v_{cm} = \dfrac{1}{m} \int \v(\r) \rho(\r) d \r$.

Zuerst werden wir ein intuitives Ergebnis beweisen, nämlich das$\v(\r_{cm}) = \v_{cm}$. Dies ist intuitiv, da der Körper starr ist, sodass sich der Massenmittelpunkt mit dem Objekt bewegen muss. Um dies zu beweisen, sehen Sie sich das an$\begin{equation} \begin{aligned} \v_{cm} &= \dfrac{1}{m} \int \v(\r) \rho(\r) d \r \\ &= \dfrac{1}{m} \int (\mathbf{v}_0 + \w \times \r) \rho(\r) d \r \\ &= \dfrac{1}{m} \int \mathbf{v}_0 \rho(\r) d \r + \dfrac{1}{m} \int \w \times \r\rho(\r) d \r \\ &= \mathbf{v}_0 \dfrac{1}{m} \int \rho(\r) d \r + \w \times \dfrac{1}{m} \int \r\rho(\r) d \r \\ &= \mathbf{v}_0 + \w \times \r_{cm} \\ &= \v(\r_{cm}) \end{aligned} \end{equation}$

Jetzt wollen wir als erstes re-exprimieren$\v$bezüglich$\r_{cm}$Und$\v_{cm}$. Wir haben das$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{v}(\r) &= \mathbf{v}_0 + \w \times \r \\ &= \mathbf{v}_0 + \w \times \r - \v(\r_{cm}) + \v(\r_{cm}) \\ &= \mathbf{v}_0 + \w \times \r - (\mathbf{v}_0 + \w \times \r_{cm}) + \v(\r_{cm}) \\ &= \w \times (\r - \r_{cm}) + \v(\r_{cm}) \\ &= \w \times (\r - \r_{cm}) + \v_{cm} \end{aligned} \end{equation}$

Lassen Sie uns nun diese Form von stecken$\v(\r)$in unsere Formel für die kinetische Energie$T$:$\begin{equation} \begin{aligned} 2T&= \int \rho(\r) v^2(\r) d\r \\ &= \int \rho(\r) (\w \times (\r - \r_{cm}) + \v_{cm})^2 d\r \\ &= \int \rho(\r) ((\w \times (\r - \r_{cm}))^2 + 2 (\w \times (\r - \r_{cm}))\cdot\v_{cm} + v^2_{cm}) d\r \\ &= \int \rho(\r) (\w \times (\r - \r_{cm}))^2 d\r + \int \rho(\r) 2 (\w \times (\r - \r_{cm}))\cdot\v_{cm} d\r + \int \rho(\r) v^2_{cm} d\r \end{aligned} \end{equation}$

Schauen wir uns diese letzte Zeile Term für Term an. Beginnen wir mit dem ersten Begriff.$\begin{equation} \begin{aligned} \int \rho(\r) (\w \times (\r - \r_{cm}))^2 d\r &= \omega^2 \int \rho(\r) (\hat{\w} \times (\r - \r_{cm}))^2 d\r \end{aligned} \end{equation}$Nun ist das Integral auf der rechten Seite die gewichtete Summe des Quadrats der Komponente senkrecht zu$\w$der Verschiebung vom Massenmittelpunkt. Das heißt, es ist das skalare Trägheitsmoment bei Drehungen um die parallele Achse$\w$durch den Massenmittelpunkt gehen. Bezeichnet dieses Trägheitsmoment$I$, finden wir, dass der erste Term ist$I \omega^2$.

Gehen wir weiter zum zweiten Term für die kinetische Energie, sehen wir$\begin{equation} \begin{aligned} \int \rho(\r) 2 (\w \times (\r - \r_{cm}))\cdot\v_{cm} d\r &= 2 \v_{cm} \cdot \left( \w \times \int \rho(\r) (\r - \r_{cm}) d\r \right) \\ &= 2 \v_{cm} \cdot \left(\w \times \left( \int \rho(\r) \r d\r - \int \rho(\r)\r_{cm} d\r \right)\right) \\ &=2 \v_{cm} \cdot \left(\w \times (m \r_{cm} - m \r_{cm}) \right) \\ &=0 \end{aligned} \end{equation}$

Betrachten wir abschließend den dritten Term. Der dritte Begriff ist

$\begin{equation} \begin{aligned} \int \rho(\r) v^2_{cm} d\r &= v^2_{cm} \int \rho(\r) d\r \\ &= m v^2_{cm} \end{aligned} \end{equation}$

Wenn wir die drei Begriffe wieder zusammensetzen, finden wir das$2T = I \omega^2 + m v_{cm}^2$, oder$T=\dfrac{1}{2}I \omega^2 +\dfrac{1}{2} m v_{cm}^2$Wo$I$ist das Trägheitsmoment um den Massenmittelpunkt. Das mussten wir zeigen.

Nehmen Sie den Referenzrahmen so, dass er in der festen Achse zentriert ist. Der$R$der den Ursprung mit dem Zentrum der rotierenden Scheibe verbindet, bildet einen Winkel$\phi$mit der Waagerechten. Jetzt innerhalb der Radiusscheibe$r$, ist der Winkel einer bestimmten Punktmasse durch den Winkel gegeben, den sie innerhalb des sich drehenden Kreises bildet, den wir nennen werden$\theta$.

Nehmen Sie nun als verallgemeinerte Koordinaten diese Winkel und schreiben Sie den Radiusvektor als Zerlegung hinein$\mathcal{X}$Und$\mathcal{Y}$:

$$\mathcal{X}: r_x = R \cos \phi + r\cos \theta \\ \mathcal{Y}: r_y = R \sin \phi - r \sin \theta ,$$

was bedeutet, dass

$$\dot{r}_x = -R \dot{\phi} \sin \phi - r \dot{\theta} \sin \theta \\ \dot{r}_y = R \dot{\phi} \cos \phi - r \dot{\theta} \cos \theta .$$

Summiere die Quadrate,

$$\dot{r}^2_y + \dot{r}^2_x = R^2 \dot{\phi}^2 \cos^2 \phi + r^2 \dot{\theta}^2 \cos^2 \theta - 2 rR\dot{\theta} \dot{\phi} \cos \theta \cos \phi \\ + R^2 \dot{\phi}^2 \sin^2 \phi + r^2\dot{\theta}^2 \sin^2 \theta + 2 rR\dot{\theta} \dot{\phi} \sin \theta \sin \phi \\ = R^2 \dot{\phi}^2 + r^2\dot{\theta}^2 - 2Rr\dot{\phi} \dot{\theta} \cos(\phi + \theta) .$$

Die kinetische Energie wird dann sein

$$T = \frac{m}{2}[ R^2 \dot{\phi}^2 + r^2\dot{\theta}^2 - 2Rr\dot{\phi} \dot{\theta} \cos(\phi + \theta)] .$$

Meine Antwort unterscheidet sich ziemlich von den beiden, die Sie anstreben, und ich verwende auch verallgemeinerte Koordinaten und Lagrange-Mechanik anstelle der Newtonschen (also integriere ich wirklich nichts). Ich denke, dieser zusätzliche Begriff, der aufgetaucht ist, hat eine Bedeutung, denn wenn Sie bedenken, dass sich die Scheibe in eine Richtung dreht und in eine andere gedreht wird, sollte die kinetische Energie in einer bestimmten Konfiguration abnehmen. Wenn Sie nur die quadratischen Winkelgeschwindigkeitsterme beibehalten, ist dies unmöglich.

PS: Ich kann hier sicherlich etwas SEHR falsch machen.

Dies ist einfach, nehmen Sie die Linear- und Winkelgeschwindigkeit des Massenschwerpunkts (Punkt B ) und kombinieren Sie sie mit den Trägheitseigenschaften

1. Lineare Geschwindigkeit von B :$\vec{v}_B = (0,d \omega_1,0)$
2. Winkelgeschwindigkeit von B :$\omega_B = (0,0,\omega_2-\omega_1)$
3. Masse der Scheibe$m$
4. Massenträgheitsmoment der Scheibe$I_{zz} = \frac{m}{2} r^2$, Wo$r$ist der Radius der Scheibe.
5. Kinetische Energie ist$T = \frac{1}{2} m (\vec{v}_B \cdot \vec{v}_B) + \frac{1}{2} I_{zz} ( \vec{\omega}_C \cdot \vec{\omega}_C) = \frac{m}{2} d^2 \omega_1^2 + \frac{I_{zz}}{2} (\omega_2-\omega_1)^2$

$$\boxed{ T = \frac{m}{2} \left( d^2 \omega_1^2 + \frac{r^2}{2} (\omega_2-\omega_1)^2 \right) }$$

Für einen Ring:

$Ke = \frac{1}{2}m ( \int_0^{2\pi} (Rw_1-rw_1cos(\theta)+rw_2cos(\theta))² +(rw_2abs(sin(\theta))² d\theta)$

$Ke = \frac{1}{2}m \int_0^{2\pi} R²w_1²+r²w_1²cos²(\theta)+r²w_2²cos²(\theta)-2Rw_1²rcos(\theta)+2Rw_1rw_2cos(\theta)) -2rw1cos(\theta)rw_2cos(\theta)+r²w_2²sin²(\theta) d\theta$

$Ke = \frac{1}{2}m (R²w_1²+\frac{1}{2}r²w_2²+\frac{1}{2}r²w_2²-r²w_1w_2)$

$Ke = \frac{1}{2}mR²w_1² + \frac{1}{2}mr²(w1-w2)²$

Mit:

$abs(W_1) > abs(W_2)$

$w_2<0$Und$w_1>0$

Das Ergebnis berücksichtigt das Vorzeichen von$w_2$, kinetische Energie erhöhen, wenn$abs(w_2)$verringern.

Der Schlüssel hier ist der Satz in der ursprünglichen Frage:

$\omega_2$ist relativ zum schwarzen Arm

Das bedeutet, dass sich die Scheibe im Laborbezugssystem mit Winkelgeschwindigkeit dreht$\omega_2-\omega_1$. Und mit diesem Wissen folgt die Antwort dem, was Sie bereits wissen: Die Gesamtenergie ist die Rotationsenergie des Massenschwerpunkts plus die Rotationsenergie der Scheibe ($\frac12 I \omega^2$, Wo$I=\frac12 m r^2$für eine Festplatte), das heißt

$$\begin{align}E_{com} &= \frac12 m (\omega_1 d)^2\\ E_{disk} &= \frac14 m (\omega_2 - \omega_1)^2 r^2\\ E_{total}&=\frac12 m (\omega_1 d)^2 + \frac14 m (\omega_2 - \omega_1)^2 r^2 \end{align}$$

Das einzige "Ding, das Ihnen gefehlt hat", war die Definition von$\omega_2$. Ihr Ausdruck wäre korrekt gewesen, wenn die Geschwindigkeit im Laborrahmen definiert worden wäre. Beachten Sie, dass Sie verwendet hätten, wenn die Geschwindigkeiten nicht (wiederum durch die Zeichnung in der ursprünglichen Frage) als in entgegengesetzte Richtungen definiert worden wären$\omega_1 + \omega_2$im zweiten Semester. Beachten Sie, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge die Subtraktion erfolgt, da Sie die Menge quadrieren.