Eine geneigte Scheibe, die auf dem Boden rollt

Zunächst einmal ein Bild, um die Situation zu beschreiben, die wir haben:

Gekippte Scheibe, die auf einer flachen Ebene rollt

Hintergrund

Eine gleichmäßige Scheibe rollt ohne Rutschen auf einer ebenen Fläche. Die Scheibe selbst bewegt sich ebenfalls kreisförmig um den Punkt Ö . Ich habe dies mit einer Rolle Klebeband versucht, so dass die Situation selbst plausibel erscheint. Was ich herausfinden möchte, ist der Radius der Scheibe in Bezug auf G , ω Und θ .

Meine Analyse

(Entschuldigung für das Fehlen von Diagrammen ab hier)

Jetzt muss etwas verhindern, dass die Scheibe einfach umfällt. Wenn ich den Drehimpuls über den Kontaktpunkt nehme, bekomme ich L → = 3 2 M R 2 ω . Der Vektor selbst ist abgewinkelt π 2 − θ auf den Boden und schwingt herum, während sich die Scheibe im Raum bewegt.

Eine gewisse Kraft stellt das Drehmoment bereit, damit dies möglich ist. Diese Kraft ist die Erdbeschleunigung. Es gibt kein Drehmoment aufgrund von Normal-, Reibungs- oder Zentrifugalkräften (?) um den Kontaktpunkt. Wenn wir das Drehmoment aufgrund der Schwerkraft um den Kontaktpunkt berechnen, erhalten wir τ → = M G R cos ⁡ θ .

Der Drehimpulsvektor rotiert um eine senkrecht zu ihm stehende und geneigte Achse π 2 − θ Zu + z . Nennen wir die Winkelgeschwindigkeit um diese Achse Ω . Wir können finden Ω indem Sie den Schwerpunkt der zu untersuchenden Scheibe auswählen. Die Entfernung von Ö an die COM ist R bräunen ⁡ θ . Also haben wir Ω R bräunen ⁡ θ = ω R , Deshalb Ω = ω Kinderbett ⁡ θ .

Daher können wir das erforderliche Drehmoment finden τ → R e Q = L Ω . Gleichsetzen τ → R e Q Und τ → , wir bekommen

R = 2 G Sünde ⁡ θ 3 ω 2

Kann bitte jemand meine Analyse überprüfen? Da ich selbst darauf gekommen bin, habe ich nichts, worauf ich mich beziehen könnte. (Ich bin mir auch etwas unsicher, ob die Zentrifugalkraft hier eine Rolle spielt.)

Ich denke nicht, dass dies eine Überprüfung meiner Arbeitsfrage ist. Ich habe gesehen, wie Münzen diese Art von Bewegung ausführen, und mich immer gefragt, warum. +1.
@JustJohan Ich stimme zu. Mainak bittet uns, die Analyse zu überprüfen, also ist es eine konzeptionelle Frage, keine Bitte, Berechnungen zu überprüfen, was nicht zum Thema gehört.

Antworten (1)

Dieses Problem ist in Introduction to Classical Mechanics von David Morin als Problem 9.23 aufgeführt.

Sei die Präzessionsrate der Münze Ω . Seien die Trägheitsmomente ICH = 1 4 M R 2 Und ICH 3 = 1 2 M R 2 bzw. In dieser Situation ist es am bequemsten zu finden L etwa in der Mitte der Münze.

Das Wichtige dabei ist, (vorübergehend) die Bewegung des Zentrums der Münze im Raum zu vergessen (da sie nicht zum sich ändernden Teil von beiträgt L ). Die Winkelgeschwindigkeit ist dann ω − Ω z ^ . Das Minuszeichen tritt auf, weil sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Ihr Fehler ist, dass Sie das nicht aufgenommen haben − Ω z ^ Teil der Rotation der Münze. Die Münze, die sich darüber dreht ICH 3 mit Winkelgeschwindigkeit ω , dreht sich auch um die z -Achse mit Winkelgeschwindigkeit Ω . Dies kann man sich am einfachsten vorstellen, indem man sich vorstellt, in einiger Höhe über der Mitte der Münze zu sitzen und immer in Richtung der Münze zu schauen X -Achse.

Die nächsten Zeilen sind der Kern des Problems.

Nun sind wir daran interessiert, die nicht-vertikale Komponente von zu finden L , was wir als bezeichnen werden L ∥ . Der ω − Ω z ^ kann als neu ausgedrückt werden ω − Ω cos ⁡ θ senkrecht zur Münze und Ω Sünde ⁡ θ entlang der Münze nach unten.

ω − Ω cos ⁡ θ senkrecht zur Münze bedeutet einen Beitrag ICH 3 ( ω − Ω cos ⁡ θ ) Sünde ⁡ θ Zu L ∥ .

Ω Sünde ⁡ θ nach unten entlang der Münze bedeutet einen Beitrag ICH Ω Sünde ⁡ θ cos ⁡ θ Zu L ∥ .

Wenn wir die beiden oben genannten zusammensetzen, erhalten wir insgesamt

L ∥ = M R 2 ( 1 2 ω Sünde ⁡ θ − 1 4 Ω Sünde ⁡ θ cos ⁡ θ )
Seit L ∥ mit Frequenz präzediert Ω , müssen wir auch haben
| D L D T | = L ∥ Ω

Die anderen Gleichungen sind

R Ω = R ω
F F = M ( R − R cos ⁡ θ ) Ω 2
| D L D T | = R ( M G cos ⁡ θ − F F Sünde ⁡ θ )
Wo R ist der Radius des Kontaktpunktes und F F ist die Reibung. Das Lösen aller Gleichungen wird erhalten
Ω = G bräunen ⁡ θ ( 3 2 R − 5 4 R cos ⁡ θ )
Daher ist eine Präzession nur möglich, wenn R > 5 6 R cos ⁡ θ .

Danke, ich konnte der Lösung folgen und sie ist allgemeiner. Sollte übrigens nicht Ω Sünde ⁡ θ entlang der Münze nach oben zeigen?
@MainakRoy Nein. Sagen wir mal ω zeigt nach außen. Dann dreht sich die Münze im Uhrzeigersinn. Deshalb Ω zeigt negativ nach unten z Richtung. Die Komponente entlang der Münze zeigt also auch nach unten und weg von der Mitte.
Ah, ich habe mir vorgestellt, dass es gegen den Uhrzeigersinn rollt. Macht Sinn. Danke.
@VincentThacker Ich konnte der reinen Rollbedingung von Morin hier nicht ganz folgen. Im rein rollenden Zustand haben wir v = ω R Wo v ist die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts . Der Massenmittelpunkt durchläuft hier einen Radiuskreis R − R cos ⁡ θ so dass seine Geschwindigkeit ist Ω ( R − R cos ⁡ θ ) Geben Sie den reinen Rollzustand an:
ω R = Ω ( R − R cos ⁡ θ )
Wo gehe ich falsch?
@Lost Das ist eine gute Frage. Sie müssen an das Paradoxon der Münzrotation denken . Der Haken hier ist jedoch, dass die ω hier ist relativ zur Rotationsnormalenrichtung und nicht zum stationären Laborrahmen definiert. Im Bild oben hat die sich bewegende Münze also nach einer halben Drehung um die zentrale Münze eine ganze Drehung relativ zum Laborrahmen gemacht, aber sie hat nur eine halbe Drehung gemacht, wenn jemand auf der zentralen Münze steht (die rotierende Normale). Richtung). Also haben wir noch R ω = R Ω .
@Vincent Thacker Entschuldigung, aber der Wortlaut ist etwas verwirrend. "Zentrale Münze, die sich bewegende Münze hat relativ zum Laborrahmen eine ganze Umdrehung gemacht" Beziehen Sie sich hier auf das Bild in der Frage oder den von Ihnen angehängten Link. In dem Bild der Frage gibt es keine "zentrale Münze", während in dem von Ihnen angehängten Bild keine "sich bewegende Münze" zu sehen ist.
@Lost Das Paradoxon der Münzrotation ist genau die obige Situation mit θ = π , NEIN? Stellen Sie sich vor, Sie wären ein Geist, der ständig am Kontaktpunkt steht. Als solches reisen Sie mit Winkelgeschwindigkeit Ω um die Mitte. Sie können entweder (1) in die gleiche Richtung relativ zum Trägheitslaborrahmen blicken oder (2) radial nach außen blicken (was bedeutet, dass Sie sich auch mitdrehen Ω ). Die Winkelgeschwindigkeiten, die Sie beobachten, sind in den beiden Situationen unterschiedlich. Der ω ist relativ zu (2) definiert.
Eine geneigte Scheibe, die auf dem Boden rollt
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