Zusammenhang zwischen Rotationsvektorableitung und Winkelgeschwindigkeit bei konstantem Rotationswinkel

Question

Zusammenhang zwischen Rotationsvektorableitung und Winkelgeschwindigkeit bei konstantem Rotationswinkel

Physik
Drehung
Winkelgeschwindigkeit
Starrkörperdynamik
Rotationsdynamik
Rotationskinematik

Harald

$\def\va{\vec{\alpha}} \def\vw{\vec{\omega}} \def\vn{\vec{n}}$ Lassen $\va(t)$ ein Rotationsvektor sein, so dass seine Richtung die Rotationsachse und seine Länge ist $\alpha=|\va|$ ist der Winkel, der die Rotation beschreibt. Gibt es eine Formel für den Rotationsvektor in Bezug auf den Winkelgeschwindigkeitsvektor? die Formel

\vec{ω} = \dot{\vec{a}} + \frac{1 - \cos a}{a^{2}} (\vec{a} \times \dot{\vec{a}}) + \frac{a - Sünde a}{a^{3}} (\vec{a} \times (\vec{a} \times \dot{\vec{a}}))

$\vec{\omega}= \dot{\vec{\alpha}} + \frac{1 - \cos \alpha}{\alpha^2} \left(\vec{\alpha} \times \dot{\vec{\alpha}}\right) + \frac{\alpha - \sin \alpha}{\alpha^3} \left(\vec{\alpha} \times \left(\vec{\alpha} \times \dot{\vec{\alpha}}\right)\right)\,$ gegeben, die die Winkelgeschwindigkeit betrifft

\vec{ω}

$\vw$ zum Rotationsvektor

\vec{α}

$\va$ und seine zeitliche Ableitung.

Wenn ich die Formel mit multipliziere $\va$ , verschwinden die beiden ausführlichen Terme auf der rechten Seite, da beide ein Kreuzprodukt von enthalten $\va$ so dass ihr Skalarprodukt mit $\va$ ist Null. Ich bekomme:

\begin{matrix} (1) & \vec{ω} \cdot \vec{a} = \dot{\vec{a}} \cdot \vec{a} \end{matrix}

$\vw\cdot\va = \dot\va\cdot\va \tag{1}$

Weil $\vw$ Und $\va$ parallel sind, haben wir auch

\begin{matrix} (1) & ω a = \dot{\vec{a}} \cdot \vec{a} \end{matrix}

$\omega \alpha = \dot\va\cdot\va \tag{1}$

Nun lass $\va(t) = \alpha(t)\cdot \vn(t)$ für Einheitsvektor $\vn(t)$ . Dann bekommen wir

\dot{\vec{a}} (T) = \dot{a} (T) \cdot \vec{N} (T) + a (T) \cdot \dot{\vec{N}} (T) .

$\dot\va(t) = \dot\alpha(t) \cdot\vn(t) + \alpha(t)\cdot\dot\vn(t)\,.$

Im Falle $\alpha(t)=const$ , und Weglassen der $(t)$ zur besseren Lesbarkeit vereinfacht sich dies zu $\dot\va = \alpha\cdot\dot\vn$ und Einsetzen in (1) ergibt

\begin{aligned} ω a = \vec{ω} \cdot \vec{a} & = a \vec{a} \cdot \dot{\vec{N}} \\ = a^{2} \vec{N} \cdot \dot{\vec{N}} \end{aligned}

$\begin{align} \omega\alpha = \vw\cdot\va &= \alpha \va \cdot\dot\vn\\ &= \alpha^2 \vn\cdot\dot\vn \end{align}$ Teilen durch

α

$\alpha$ wir bekommen

ω = a \vec{N} \cdot \dot{\vec{N}} .

$\omega = \alpha\vn\cdot\dot\vn\,.$

Seit $\vn(t)$ ist ein Einheitsvektor für alle $t$ , jede Änderung von $\vn(t)$ muss immer nur seine Richtung ändern, niemals seine Länge, das heißt $\vn\cdot\dot\vn=0$ und deshalb

ω = 0

$\omega = 0$

im Falle $\dot\alpha=0$ , sogar für $\dot\vn\neq0$ .

Frage: Wie kann das sein, dass die Drehachse doch ihre Richtung ändert $\omega$ und damit der Drehimpuls Null ist? Eine meiner Annahmen, wie $\va$ funktioniert ist wohl falsch. Doch alles, was ich angenommen habe, ist das $\va$ sind nur drei Zahlen, die sich im Laufe der Zeit ändern und in die es zerlegt werden kann $\alpha\vn$ . OK und dass dies mit der für zitierten Formel übereinstimmt $\omega$ . Wo ist der Fehler? Oder kann ich eine Änderung der Drehachse haben, ohne einen Drehimpuls zu haben?

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Zusammenhang zwischen Rotationsvektorableitung und Winkelgeschwindigkeit bei konstantem Rotationswinkel

Benutzer197851 · Answer 1

Schon früh machen Sie die Annahme, dass $\vec{\omega}$ Und $\vec{\alpha}$ sind parallel. Dies ist im Allgemeinen nicht richtig.

Dies kann aus einem grundlegenden Missverständnis über die Bedeutung von entstanden sein $\vec{\alpha}(t)$ . Die Richtung von $\vec{\alpha}(t)$ ist nicht die momentane Rotationsachse. Die Achsenwinkel-Variablen geben Ihnen die Drehung, die erforderlich ist, um die aktuelle Ausrichtung eines Körpers zu erhalten (z. B. zur Zeit $t$ ) relativ zu einer Referenzausrichtung (z. B. at $t=0$ ). Es ist wahr, dass jede Orientierung auf diese Weise ausgedrückt werden kann: eine Drehung $\alpha(t)$ über einen Einheitsvektor $\vec{n}(t)$ , die wir als kombinierten Vektor zusammensetzen können $\vec{\alpha}(t)\equiv \alpha(t)\vec{n}(t)$ . Aber diese Drehung hängt von der gesamten Geschichte der Flugbahn bis zur Zeit ab $t$ , und wie auf der Seite, auf die Sie verwiesen haben, klargestellt wurde: Gibt es eine Formel für den Rotationsvektor in Bezug auf den Winkelgeschwindigkeitsvektor? , die Beziehung ist ziemlich kompliziert. Es gibt keinen besonderen Grund, warum die Achse $\vec{n}(t)$ Die Beschreibung der aktuellen Orientierung sollte in irgendeiner Beziehung zur Richtung der aktuellen Winkelgeschwindigkeit stehen $\vec{\omega}(t)$ .

Man kann sich einen Spezialfall vorstellen, wo dies zutrifft: es ist der einfache wo $\vec{n}$ während der gesamten Flugbahn konstant war, und beides $\vec{\omega}$ Und $\vec{\alpha}$ Parallel dazu gewesen $\vec{n}$ für die ganze Zeit. So

\vec{ω} (T) = ω (T) \vec{N} Und \vec{a} (T) = a (T) \vec{N}

$\vec{\omega}(t)=\omega(t)\vec{n} \qquad\text{and}\qquad \vec{\alpha}(t)=\alpha(t)\vec{n}$ Dann der Drehwinkel

α (t)

$\alpha(t)$ ist nur das Zeitintegral der Größe der Winkelgeschwindigkeit

ω (t)

$\omega(t)$ . In diesem Fall sind die Dinge jedoch weniger interessant. Der zweite und der dritte Term deiner ersten Gleichung verschwinden also identisch

\vec{ω} = \dot{\vec{a}} Und ω = \dot{a}

$\vec{\omega}=\dot{\vec{\alpha}}\qquad\text{and}\qquad \omega=\dot{\alpha}$ Ihre Herleitung ist richtig, bis wir zum Spezialfall kommen

α (t) =

$\alpha(t)=$ konstant, was natürlich richtig impliziert

ω (t) = 0

$\omega(t)=0$ . Aber das ist, wie man erwarten würde, für diesen speziellen Fall, es illustriert nichts Falsches.

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Harald

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Benutzer197851

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