Ansatz zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit

Hier ist eine Situation:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich möchte den Winkelgeschwindigkeitsvektor des Massenschwerpunkts (COM) des Systems herausfinden.

Mein Vorgehen ist wie folgt:

Methode 1 :

Ich habe die lineare Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts berechnet und die Eigenschaft that verwendet

v → P Ö ich N T = v → C Ö M ± R → ω C Ö M ,

R → der Positionsvektor (positiv) des erforderlichen Punktes in Bezug auf COM ist.

Mit dieser Eigenschaft über den COM des Systems (auf der Stange) erhalte ich die Größe von ω C Ö M

Wäre die Richtung nicht senkrecht sowohl zum Positionsvektor des COM wrt O als auch zur Geschwindigkeit der Scheiben (da sonst die Geschwindigkeiten entlang der Stange für beide Scheiben unterschiedlich wären, da sie die gleiche Neigung haben). )?

Methode 2 :

Ich habe über etwas namens Instantaneous Center (Axis?) Of Rotation studiert und die Eigenschaft that verwendet ω um diesen Punkt wäre konstant und gleich der Geschwindigkeit des gewünschten Punktes dividiert durch den Positionsvektor.

Hier habe ich festgestellt, dass der erforderliche Punkt der Ursprung O selbst ist.

Das habe ich bewiesen ω C Ö M = ω Ö [Unter Verwendung des Theorems der parallelen Achsen sowie Energieüberlegungen]

[Ist dies der einzige andere Punkt als der COM (für Nicht-COM-Rotation), an dem ω P Ö ich N T = ω C Ö M ?]

Und so ist diese Situation gleichbedeutend damit, die Winkelgeschwindigkeit um O zu finden, was ziemlich einfach zu berechnen ist, mit der Tatsache, dass es auch das momentane Zentrum ist.

Sind also beide Methoden richtig? Wenn ja, gibt es eine andere einfachere Route zu berechnen? ω C Ö M ?

Antworten (1)

Das gezeichnete Diagramm sollte Ihnen einen Hinweis geben, wie Sie dieses Problem angehen können.

Da die Nicht-Schlupf-Bedingung für beide Scheiben erfüllt ist, kennen Sie sofort die lineare Geschwindigkeit der Mitten beider Scheiben.

v A = A ω Und v 2 A = 2 A ω

Die Richtung der Geschwindigkeiten liegt in negativer y-Richtung ( − j ^ )

[Nebenbei bemerkt sind die x- und y-Achsen in Ihrem Diagramm für ein rechtshändiges Koordinatensystem falsch herum. Ich erwähne dies, weil ein Großteil der Rotationsdynamik kontraintuitiv ist und ein solcher Schlupf in Zukunft Probleme verursachen kann]

Die gefundenen linearen Geschwindigkeiten zeigen an, dass sich das System dreht Ö wobei die Richtung der Winkelgeschwindigkeit der Mittelpunkte der Scheiben in z-Richtung liegt ( z ^ ) .
Beachten Sie, dass es nicht die Richtung von ist R → × v → A was dazu neigt z ^ auch wenn die x- und y-Achsen vertauscht wurden.
Das ist Ihre Methode 2.

Alle Teile der Stange drehen sich um Ö mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, so dass Sie die Winkelgeschwindigkeit des Massenmittelpunkts finden können, indem Sie die Winkelgeschwindigkeit von einem der Mittelpunkte der beiden Scheiben finden.
Sie kennen die lineare Geschwindigkeit, also brauchen Sie nur eine Entfernung in Bezug auf A Und l .

Wie sind die Richtungen der Geschwindigkeiten des Mittelpunkts der Scheiben in negativer y-Richtung? Sollten sie nicht eine Neigung zu -y haben (senkrecht zur Länge der Stange)?
In dem im Diagramm gezeigten Moment, in dem die Scheiben die x-Achse berühren, haben die Mittelpunkte der Scheiben eine Geschwindigkeit in einer Richtung, die senkrecht zur x-Achse ist, und da keine Bewegung in Richtung der z-Achse stattfindet (konstant Höhe über der xy-Ebene) muss es in der sein − j ^ Richtung.
Es stimmt, dass es keine Bewegung um die z-Achse gibt, aber kann man sich diese Situation nicht so vorstellen, dass zwei Scheiben eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung um den Ursprung ausführen, wobei ihre Geschwindigkeiten tangential zum zurückgelegten Weg sind? Ich sage das, als ob es in der -y-Richtung wäre, es wird eine Geschwindigkeitskomponente entlang der Stange geben, aber da eine Komponente doppelt so groß ist wie die andere (sie haben den gleichen Winkel, während das System gleich geneigt ist), Starrkörpereigenschaften der Stange zeigen, dass dies nicht möglich ist.
Denken Sie an die Bewegung der Mitten der Scheiben. Sie führen Kreise in einer Ebene aus, die parallel zur xy-Ebene ist. Derjenige, der näher kommt Ö legt die halbe Strecke zurück von der weiter entfernten Ö bewegt sich aber halb so schnell, sodass beide Zentren für eine Umdrehung die gleiche Zeit benötigen. Beachten Sie, dass die Kreise nicht zentriert sind Ö zeigt aber auf der z-Achse oben Ö . Der Massenmittelpunkt des Systems aus zwei Scheiben und dem Stab muss also ebenfalls um einen ähnlichen Kreis mit Mittelpunkt auf der z-Achse wandern.
Das ganze System war anfangs schräg θ mit der x-achse. Wenn θ = 0, dann verstehe ich, dass die Geschwindigkeit in negativer y-Richtung sein wird. Aber sagen Sie, dass die Geschwindigkeitsrichtung unabhängig von ist θ ?
Das System befindet sich auf einer ebenen Fläche, von der ich angenommen habe, dass sie sich in der xy-Ebene befindet.
Ich habe die Bewegung entlang eines Kreises verstanden, der auf der z-Achse zentriert ist, aber das verwirrt mich. Vielleicht muss ich ein besseres visuelles Verständnis haben? Aber warum ist meine Argumentation falsch? Ich werde den genauen Wert von Omega angeben, den ich bekommen habe. Durch meine Argumentation erhalte ich den Wert von ω C Ö M = ein ω /L wobei L die Länge der Stange ist. Und über die z-Achse, ω C Ö M , z A X ich S = ω /5
@Farcher Ich habe Zweifel an dem aw-Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit. Müssen Sie nicht die Winkelgeschwindigkeit einbeziehen, die von dem sich um die Z-Achse drehenden Objekt zur Berechnung der Geschwindigkeit beigetragen wird? Siehe meine Antwort hier . Mich beschäftigt dieser Punkt schon länger.
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