Erhaltung des Winkelimpulses beim Rollen mit Gleiten [Duplikat]

Angenommen, einem Ball wird eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben$v_i$auf einer rauen horizontalen Fläche im Positiv$x$-Richtung. Die Oberfläche stellt Reibungskraft bereit$f$der ein Drehmoment aufbringt$fr$(Wo$r$ist der Radius der Kugel). Aufgrund der Reibungskraft kommt es zu einer Beschleunigung$a$im negativen$x$-Richtung und eine Winkelbeschleunigung$\alpha$im Uhrzeigersinn. Nach einiger Zeit$t$, an der momentanen Rotationsachse$O$, die Translationsgeschwindigkeit wird gleich$r\omega_f$, dh,$v_f = r\omega_f$und der Ball beginnt rein zu rollen.

Wir bekommen$v_f$Und$\omega_f$aus den Gleichungen:

$v_f = v_i - at$Und$\omega_f = \alpha t$

Wir können rechnen$\alpha$aus der Drehmomentgleichung:$fr = I_\textrm{com} \alpha$

Mir wurde das während dieses gesamten Prozesses beigebracht$t=0$Zu$t=t$, bleibt der Drehimpuls der Kugel erhalten. Daher bleibt der Drehimpuls um die momentane Rotationsachse erhalten$O$, wir können schreiben,

$$mv_ir=I_\textrm{com}\omega_f + mv_fr$$

Meine Frage:

Wie können wir den Drehimpuls erhalten, obwohl ein externes Drehmoment vorhanden ist?$fr$auf den Ball wirken (d.h.$\tau_{\textrm{ext}} \neq 0$)?