Gilt der Parallelachsensatz für nicht starre Körper?

Stellen Sie sich für einen gewissen Kontext eine idealisierte Situation mit einer Person vor, die starr an der Welle eines sich drehenden Fahrradrades befestigt ist. Sitzen auf einem drehbaren Stuhl. Alle Lager sind reibungsfrei. Anfänglich sind die Person und der Stuhl in Ruhe, aber das Rad dreht sich, sagen wir mit einer Geschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn ω S , um eine vertikale Achse.

ausgangsbedingung

Als nächstes wird das Rad umgedreht, sodass der Drehimpuls des Rads jetzt negativ ist. Offensichtlich muss die Person beginnen, sich gegen den Uhrzeigersinn zu drehen, um den Drehimpuls zu erhalten. Da die Person starr an der Welle befestigt ist, würde der Schwerpunkt des Rades beginnen, sich in einem Kreis um den AOR zu verschieben.

Finale

Hier kommt der Parallelachsensatz ins Spiel. Leute, mit denen ich darüber gesprochen habe, glauben das L → F = ω F ( ICH S , P + ICH w + M D 2 ) − ω S ICH w wobei m die Masse des Rads ist, d der Abstand von der COM des Rads zum AOR ist, ICH S , P ist das Trägheitsmoment der Person und des Stuhls, ω F ist die Endgeschwindigkeit des Person-Stuhl-Rad-Systems, ICH w ist das Trägheitsmoment des Rades um seine Rotationsachse.

Hier ist meine Begründung: Angenommen, die Masse des Rads konzentriert sich vollständig auf seine Felge und das Lager, auf dem es läuft, ist reibungsfrei, kann auf keinen Fall ein vertikales Drehmoment auf das durchdrehende Rad ausgeübt werden, und daher würde es keine Komponente geben des Drehimpulses, der sich auf das Rad bezieht, das sich aufgrund der Translation der Welle/des Rads um seinen eigenen Massenmittelpunkt dreht (wie es bei einem starren Körper der Fall wäre; die einzigen Komponenten des Drehimpulses, die sich auf die Drehung des Rads beziehen, sind ω S ICH w Und ω F M w D 2 , und nicht ω F ICH w . Das gibt mir L → F = ω F ( ICH S , P + M D 2 ) − ω S ICH w .

Mein Verständnis ist, dass der Parallelachsensatz nur für starre Körper gilt, bei denen sich der Körper um eine Achse dreht, die sich nicht an seinem CoM befindet, was dieses System eindeutig nicht ist.

Was ist die richtige Deutung?

Antworten (2)

Mein Verständnis ist, dass der Parallelachsensatz nur für starre Körper gilt

Dieser Satz gehört zur Geometrie, nicht zur Dynamik. Es gibt keinen Grund, warum es nicht für nicht starre Körper gelten sollte. Im Gegenteil: Positionen aller Massen zu einem gegebenen Zeitpunkt einnehmen und relevante Trägheitsmomente anhand dieser Positionen berechnen. Sie werden sehen, dass der Satz - offensichtlich - gilt.

Der einzige Punkt, an dem Starrheit ins Spiel kommt, ist die Abhängigkeit der Trägheitsmomente von der Zeit. Dies kann aber auch bei starren Körpern vorkommen.

Das ist – natürlich – richtig, aber es beantwortet möglicherweise nicht die beabsichtigte Frage. Der Parallelachsensatz ist für jede Massenverteilung korrekt, aber die Gleichgewichtsmassenverteilung eines nicht starren Körpers kann in den Zuständen, die das OP berücksichtigen möchte, unterschiedlich sein, was bedeutet, dass er den einen Zustand der Basis des anderen nicht berechnen kann.
@dmckee Ich habe auf eine präzise OP-Frage geantwortet. Über seine Vorrichtung habe ich nichts gesagt, weil ich weder seine Beschreibung noch seine Zeichnung verstehen konnte.
@ElioFabri Danke für deine Antwort, mein Hauptproblem war die spezifische Anwendung des Konzepts; Ich habe eine neue Frage gestartet, die sich speziell damit befasst und aussagekräftiger ist.

. . . Das Lager, auf dem es läuft, ist reibungsfrei, es kann kein Drehmoment auf das durchdrehende Rad ausgeübt werden

Sie wären richtig, wenn das Rad in einem Gimbal montiert wäre .

Ein reibungsfreies Lager des in Ihrer Frage erwähnten Typs ist ein Objekt, dessen äußeres Gehäuse kein Drehmoment auf seine inneren Teile in einer Richtung entlang der Mittelachse des Lagers ausüben kann, das äußere Gehäuse jedoch Drehmomente auf die inneren Teile des Lagers ausüben kann, wenn die Die Drehmomentrichtung verläuft senkrecht zur Mittelachse des Lagers.

Somit kann ein externes Drehmoment auf das Rad aufgebracht werden, vorausgesetzt, dass die Richtung des Drehmoments auf das Außengehäuse des Lagers in der Ebene des Lagers liegt.

Das über ein Horizontallager mit dem Boden verbundene Rad-Person-Stuhl-System kann weder mit vertikalen äußeren Drehmomenten aus dem Boden noch mit vertikalen Kräften infolge der Schwerkraft beaufschlagt werden.

Dies bedeutet, dass die vertikale Komponente des Drehimpulssystems Rad & Person & Stuhl erhalten bleibt.
Die horizontalen Komponenten des Drehimpulses des Rad-Person-Stuhl-Systems können sich ändern, da das Lager horizontale externe Drehmomente auf das Rad-Person-Stuhl-System ausüben kann.

Um das Rad umzudrehen, wird ein äußeres horizontales Drehmoment, das auf das Rad-Person-Stuhl-System wirkt, durch das Lager aufgebracht, da die Person ihre Arme verwendet.
Bei diesem Vorgang wirken bei Neigung des Radlagers zur Horizontalen innere vertikale Drehmomente: vertikales Drehmoment auf Rad durch Person und Stuhl und gleichgroßes und gegenläufiges vertikales Drehmoment auf Person und Stuhl durch Rad.

Wenn in einem solchen Beispiel die Erhaltung des vertikalen Drehimpulses verwendet wird, sind die Anfangs- und Endzustände des Rad-Person-Stuhl-Systems "starr".

Den drittletzten Absatz bearbeitet; das ist mein Hauptproblem.
Gilt der Parallelachsensatz für nicht starre Körper?
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