Über den Drehimpuls des Teilchensystems bezogen auf den Schwerpunktbezug

Question

Über den Drehimpuls des Teilchensystems bezogen auf den Schwerpunktbezug

能够可能

Ich kenne den korrekten Ausdruck: $L=\sum_{i}^{n}\left(\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)$

Aber das Lehrbuch meint: $\vec{F_i}=\frac{d}{dt}\left(m_i\vec{v_i}\right)$ „Aber die Geschwindigkeit liegt hier im Bezugsrahmen der Masse, ich glaube nicht, dass das die wirkliche Kraft ist.

Zusammenfassung im Lehrbuch: $\tau_{i}^{ext}=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}}$

Ich war verwirrt und dachte schließlich darüber nach, warum, aber das Lehrbuch erklärte es nicht. Ich weiß nicht, ob das richtig ist.

Unten sind meine Gedanken:

$\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}}=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i(\vec{a_{cm}}+\vec{{a_i}})=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{a_{i}}+\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i\right)\times \vec{a_{cm}}=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{a_{i}}$

Beachten Sie, dass $\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i=0$

$or$

$\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}+\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i\right)\times\vec{v_{cm}}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\left(\vec{v_i}+\vec{v_{cm}}\right)\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{V_{i,groud}}\right)=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}}$

Frage:

Ich verstehe nicht, warum das Lehrbuch so geschrieben ist. In Bezug auf die Geschwindigkeit im Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts ist die Geschwindigkeit nicht die tatsächliche Geschwindigkeit, aber sie kann zu einer echten externen Kraft werden.

Ich denke, wenn das Lehrbuch diesen Ausdruck verwendet, um klarer zu sein, wie zum Beispiel: $\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}{r_i}m_i\left({r_i}\omega\hat k\right)\right)=I_{cm}\alpha\hat k$ (Das ist nicht ganz richtig, nur ein starrer Körper, der sich um den Massenmittelpunkt dreht und die gleiche Winkelgeschwindigkeit hat)

Folgendes ist eine Klarstellung zu der Frage:

Wenn der Boden der Referenzrahmen ist, kann dieser nahe an der tatsächlichen Kraft liegen $F$ .Die Geschwindigkeit $v_i$ ist relativ zum Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts, und der Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts hat eine Geschwindigkeit $v_{cm}$ relativ zum Boden.So $v_i$ ist nicht die Geschwindigkeit relativ zum Boden, ich kann es nicht direkt so schreiben $F$ .Die Unterseite ist meine Erklärung, aber das Lehrbuch erklärt nicht, warum dies direkt so geschrieben werden kann $F$ .Also habe ich Zweifel an dieser Frage.

Herleitung aus dem Lehrbuch: Ihre Beziehung ist aus dem Bild gezogen

Im Folgenden geht es um den Drehimpuls der beiden Teile

Ich kann eine solche Beziehung herstellen, aber entsprechen sie sich unabhängig voneinander?

Ein Teil des Inhalts wird hier weggelassen

Es besteht kein Zweifel, dass wir eine solche entsprechende Beziehung haben, und ich brauche die andere Beziehung nicht zu schreiben.

Eine andere Beziehung:

Obwohl ich diesen Schritt nicht schreiben muss, weil daraus geschlossen werden kann, dass die Beziehung dieses Schrittes durch die Beziehung eines anderen Schrittes korrespondiert, sind sie zweifellos korrespondierend.

Aber ich habe Zweifel an diesem Schritt, was sich erklären lässt, kann ich das Missverständnis ausräumen, dass ich es nicht weiß.

$\frac{d}{dt}\left(m_i\vec{v_{cm,i}}\right)\neq \vec{F_i}$ (Ich scherze hier)

Denn auch wenn ich es nicht so handhabe, lässt sich aus der obigen Beziehung eine andere Beziehung ableiten. Dies ist zweifellos richtig.

Aber ich habe auch erklärt, warum es zu diesem Missverständnis kommen kann. Wenn ich es mir direkt ansehe, werde ich dieses Gleichheitszeichen wohl ablehnen.

Meine Erklärung:

Ich kann mir nur erklären, ob ich einige Bedienungsregeln übersehen habe, obwohl die Symbole ähnlich aussehen.

Was soll ich denken，ob ich ein falsches Missverständnis habe.Hilfe!

G. Smith

Sie können \times verwenden, um zu erhalten

\times

$\times$ . Ihre Vektorprodukte sind ohne sie verwirrend.

能够可能

Danke! Ich weiß nicht, wie man es benutzt

能够可能

Kann ich eine andere Frage stellen, wenn die lineare Geschwindigkeit mit der Winkelgeschwindigkeit gemischt wird, wie kann ich diesen Vektor ausdrücken? Zum Beispiel: v = rw

pglpm

@能够可能 Sie könnten hinzufügen, wie Ihr Lehrbuch definiert

F^{ext}

$F^\text{ext}$ und den Bezugsrahmen, den es verwendet. Aber die „echte Geschwindigkeit“ gibt es nicht. Eine Geschwindigkeit ist immer relativ zu einem Bezugssystem; es sei denn, Sie gehen von der Existenz eines Äthers aus. Ich bin mir auch nicht sicher, was du mit "echter Kraft" meinst. Eine Kraft ist (mit Ausnahme der Neuorientierung) in allen Referenzsystemen gleich, träge und nicht träge. Die einzigen Ausnahmen sind Trägheitskräfte.

能够可能

Wenn der Boden der Referenzrahmen ist, kann dieser nahe an der tatsächlichen Kraft liegen

F

$F$ .Die Geschwindigkeit

v_{i}

$v_i$ ist relativ zum Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts, und der Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts hat eine Geschwindigkeit

v_{c m}

$v_{cm}$ relativ zum Boden.So

v_{i}

$v_i$ ist nicht die Geschwindigkeit relativ zum Boden, ich kann es nicht direkt so schreiben

F

$F$ .Die Unterseite ist meine Erklärung, aber das Lehrbuch erklärt nicht, warum dies direkt so geschrieben werden kann

F

$F$ .Also habe ich Zweifel an dieser Frage.

Antworten (2)

Über den Drehimpuls des Teilchensystems bezogen auf den Schwerpunktbezug

Sie können \times verwenden, um zu erhalten $\times$ . Ihre Vektorprodukte sind ohne sie verwirrend.
Kann ich eine andere Frage stellen, wenn die lineare Geschwindigkeit mit der Winkelgeschwindigkeit gemischt wird, wie kann ich diesen Vektor ausdrücken? Zum Beispiel: v = rw
@能够可能 Sie könnten hinzufügen, wie Ihr Lehrbuch definiert $F^\text{ext}$ und den Bezugsrahmen, den es verwendet. Aber die „echte Geschwindigkeit“ gibt es nicht. Eine Geschwindigkeit ist immer relativ zu einem Bezugssystem; es sei denn, Sie gehen von der Existenz eines Äthers aus. Ich bin mir auch nicht sicher, was du mit "echter Kraft" meinst. Eine Kraft ist (mit Ausnahme der Neuorientierung) in allen Referenzsystemen gleich, träge und nicht träge. Die einzigen Ausnahmen sind Trägheitskräfte.
Wenn der Boden der Referenzrahmen ist, kann dieser nahe an der tatsächlichen Kraft liegen $F$ .Die Geschwindigkeit $v_i$ ist relativ zum Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts, und der Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts hat eine Geschwindigkeit $v_{cm}$ relativ zum Boden.So $v_i$ ist nicht die Geschwindigkeit relativ zum Boden, ich kann es nicht direkt so schreiben $F$ .Die Unterseite ist meine Erklärung, aber das Lehrbuch erklärt nicht, warum dies direkt so geschrieben werden kann $F$ .Also habe ich Zweifel an dieser Frage.

pglpm · Answer 1

Um ehrlich zu sein, bin ich mir nicht sicher, ob ich verstehe, was Sie fragen oder was Ihre Verwirrung ist. Ich werde ein paar Bemerkungen zum Gleichgewicht des Rotationsimpulses machen und einige Referenzen geben, die es im Detail und allgemein untersuchen, in der Hoffnung, dass dies Ihnen helfen könnte.

Wenn wir eine punktförmige Masse betrachten, ist das Gleichgewicht des Drehimpulses in Bezug auf den Ursprung des Bezugssystems eine triviale Folge des Gleichgewichts des Translationsimpulses: Wir müssen letzteres nur mit vektormultiplizieren $\pmb{r}$ , die Position des Massenpunktes. Der Drehimpuls $\pmb{H}$ der Punktmasse ist definiert als $\pmb{H}:=\pmb{r}\land(m\dot{\pmb{r}})$ , wobei der Punkt die zeitliche Ableitung bezeichnet, $\dot{x} := \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ . Dann, wenn man das bedenkt $\dot{\pmb{r}}\land\dot{\pmb{r}} = 0$ , finden wir leicht

\dot{H H} = R R \land F F,

$\dot{\pmb{H}} = \pmb{r}\land \pmb{F} \ ,$ Wo

F F

$\pmb{F}$ ist die Summe aller auf den Massenpunkt wirkenden Kräfte.

Aber schon in diesem trivialen Fall ist es wichtig zu betonen, dass dieses Gleichgewicht in jedem Bezugssystem gültig ist , auch in einem nicht-trägen Bezugssystem, vorausgesetzt, dass die Trägheitskraft unter allen auf die Punktmasse wirkenden Kräften enthalten ist. (Es ist gut, sich daran zu erinnern, dass Nicht-Trägheitskräfte sogenannte objektive Größen sind, das heißt, sie sind in allen Rahmen gleich, Trägheits- und Nicht-Trägheitskräfte; mehr dazu weiter unten.)

Für ein System von Punktmassen $m_i$ mit Positionsvektoren $\pmb{r}_i$ Die Situation wird interessanter, und hier tritt die Drehimpulsbilanz als Gesetz auf . Lassen Sie uns dieses Gesetz für einen allgemeinen Referenzrahmen angeben, träge oder nicht träge.

Angenommen, das gilt für jeden Massenpunkt $m_i$ wirkt die gesamte äußere Kraft $\pmb{F}_i$ , einschließlich der Trägheitskraft , und der Kräfte $\pmb{f}_{ik}$ von den anderen Punktmassen. Der Gesamtdrehimpuls des Systems in diesem Bezugssystem, bezogen auf seinen Ursprung, ist definiert als $\pmb{H}:=\pmb{r}_i\land(m_i\dot{\pmb{r}_i})$ . Das sagt die Drehimpulsbilanz aus

\dot{H H} = \sum_{ich} R R_{ich} \land F F_{ich},

$\dot{\pmb{H}} = \sum_i \pmb{r}_i \land \pmb{F}_i \ ,$ das heißt, die Änderungsrate des Drehmoments ist gleich dem gesamten externen Drehmoment. Diese Gleichung gilt in jedem Rahmen, ob träge oder nicht träge (wiederum vorausgesetzt, dass wir Trägheitskräfte einbeziehen).

Die obige Gleichung folgt in diesem Fall nicht aus der Translationsimpulsbilanz für dieses System. Wenn wir die letzteren Salden für jede Punktmasse mit multiplizieren $\pmb{r}_i$ , sie zusammenzufassen und einige Manipulationen vorzunehmen, bleibt uns ein zusätzlicher Begriff $\sum_{ik} (\pmb{r}_i - \pmb{r}_k) \land \pmb{f}_{ik}$ . Dieser Begriff verschwindet nur, wenn die gegenseitigen Kräfte zentral sind , dh entlang der Verbindungslinien der jeweiligen Punktmassen gerichtet sind (siehe Joos' Hinweis unten).

Das als Gesetz genommene Gleichgewicht des Drehimpulses erfordert daher, dass die gegenseitigen Kräfte im Mittelpunkt stehen. In vielen Lehrbüchern der Physik wird oft der gegenteilige Standpunkt vertreten: Sie nehmen die gegenseitigen Kräfte als zentral an, und die Drehimpulsbilanz ergibt sich dann aus der Translationsimpulsbilanz plus dieser Zentralitätsannahme. Sie können den Standpunkt wählen, den Sie bevorzugen. Wenn wir jedoch zur Kontinuumsmechanik übergehen, müssen wir die Drehimpulsbilanz wegen des Auftretens von Kontaktkräften als primitiv ansehen; siehe die nachstehenden Referenzen zu diesem Punkt.

Zurück zu Ihrer Frage, der Punkt ist, dass das Gesetz

\frac{D}{D T} [R R_{ich} \land (M_{ich} \dot{R R_{ich}})] = \sum_{ich} R R_{ich} \land F F_{ich}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\pmb{r}_i\land(m_i\dot{\pmb{r}_i})] = \sum_i \pmb{r}_i \land \pmb{F}_i$ gilt in jedem System, inertial und nicht-inertial, und daher auch im Schwerpunktsystem. Wir müssen nur daran denken, die Trägheitskraft auf jeden Massenpunkt einzubeziehen . Ich vermute das "

F^{ext}

$F^\text{ext}$ " in Ihrem Lehrbuch steht das.

Zusätzliche Anmerkung zur Objektivität von Kräften und zur Trägheitskraft

Betrachten wir zwei generische (starre) Rahmen in gegenseitiger Bewegung, einen Positionsvektor $\pmb{r}'(t)$ im zweiten Rahmen bezieht sich auf den Positionsvektor $\pmb{r}(t)$ im ersten von

R R^{'} = C C (T) + Q Q (T) R R

$\pmb{r}' = \pmb{c}(t) + \pmb{Q}(t)\pmb{r}$ Wo

c c (t)

$\pmb{c}(t)$ ein Vektor ist, der die Ursprünge der zwei Rahmen in Beziehung setzt, und

Q Q (t)

$\pmb{Q}(t)$ eine orthogonale Rotationsmatrix, die die Achsen der beiden Rahmen in Beziehung setzt. Wie von der gesehen

t

$t$ -Abhängigkeit gilt diese Beziehung auch für zeitvariable Rotationsrahmen.

Jede (Nicht-Trägheits-)Kraft wird als objektiv bezeichnet , da ihre Ausdrücke in zwei beliebigen Rahmen miteinander in Beziehung stehen

F F^{'} = Q Q F F .

$\pmb{F}' = \pmb{Q}\pmb{F} \ .$ Mit anderen Worten, Beobachter in den beiden Rahmen stimmen immer über die Größe der Kraft überein,

| F F^{'} | = | F F |

$\lvert \pmb{F}'\rvert = \lvert\pmb{F}\rvert$ (aufgrund der normerhaltenden Eigenschaft orthogonaler Rotationsmatrizen) und auch von ihrer Richtung in Bezug auf Massen im System und zu den Fixsternen. Zum Beispiel stimmen alle Beobachter darin überein, dass eine von einer Feder ausgeübte Hookesche Kraft entlang der Linie gerichtet ist, die die Enden der Feder verbindet; und alle Beobachter stimmen darin überein, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Massen entlang der Linie gerichtet ist, die die Massenschwerpunkte der beiden Massen verbindet.

Trägheitskräfte sind die einzige Ausnahme. Die allgemeinste Form der Trägheitskraft auf einen Massenpunkt mit Ortsvektor $\pmb{r}$ Ist

F F_{träge} = 2 Ω Ω (\dot{R R} - \dot{C C}) - (Ω Ω^{2} - \dot{Ω Ω}) (R R - C C) + \ddot{C C},

$\pmb{F}_{\text{inertial}} = 2 \pmb{\varOmega}\ (\dot{\pmb{r}} - \dot{\pmb{c}}) - (\pmb{\varOmega}^2- \dot{\pmb{\varOmega}})\ (\pmb{r}-\pmb{c}) + \ddot{\pmb{c}}\ ,$ Wo

c c

$\pmb{c}$ ist der Positionsvektor des Ursprungs des Rahmens in Bezug auf einen beliebigen Trägheitsrahmen, und

Ω Ω

$\pmb{\varOmega}$ ist die Winkelgeschwindigkeit (ausgedrückt als Matrix) des Systems in Bezug auf das Inertialsystem (oder auf die Fixsterne). Sie sehen, dass der obige Ausdruck den üblichen Begriff enthält

\ddot{c c}

$\ddot{\pmb{c}}$ aus der Linearbeschleunigung und die Zentrifugal-, Coriolis- und Euler-Kräfte aus der Rotation.

Verweise

Das allgemeine Gleichgewicht von Drehimpuls, Trägheitskräften und die Objektivität von Kräften werden beispielsweise ausführlich behandelt in

Truesdell, Toupin: The Classical Field Theories (Springer 1960), insbesondere Kapitel B.III und DI
Truesdell: Ein erster Kurs in rationaler Kontinuumsmechanik. Vol. 1: General Concepts (2nd ed. Academic Press 1991), insbesondere Kapitel I.
Samohýl, Pekar: The Thermodynamics of Linear Fluids and Fluid Mixtures (Springer 2014), insbesondere Abschnitt 3.3; Trägheitskräfte werden in Abschnitt 3.2 behandelt (beachten Sie, dass dies ein Buch über Thermomechanik ist , nicht nur über Thermodynamik).

Die Geschichte des Drehimpulsgleichgewichtsgesetzes, insbesondere im Hinblick auf Eulers Entdeckung seiner Notwendigkeit als eigenständiges Gesetz, ist in zusammengefasst

Truesdell: Woher kommt das Impulsmoment? (1963/1968) (auch hier erhältlich )

Eine traditionelle Darstellung dieses Gleichgewichts (aber beschränkt auf Trägheitsrahmen) ist in

Joos: Theoretical Physics (3. Aufl. Hafner 1958), insbesondere Abschnitte 5.5 und 6.2 (ältere Ausgabe hier ).

Danke! Das ist mein Zweifel. Ich wollte zuerst nur kurz verstehen, ich habe festgestellt, dass es zu viele Dinge gibt, die ich vorher nicht berührt habe, und ich verstehe überhaupt nicht. Kann ich eine Erklärungsfrage stellen? „Wenn ich wähle andere Rahmen, stellt dies alle Drehimpulsänderungen dar und muss nicht in zwei Teile geteilt werden“
@能够可能 Der Drehimpulsausgleich ist knifflig, da der Drehimpuls nicht nur vom Rahmen abhängt, sondern auch vom Bezugspunkt (und man muss angeben, ob dieser in diesem Rahmen statisch ist usw.). Darüber hinaus verwenden Lehrbücher manchmal andere versteckte Annahmen in ihrer Diskussion. Ich empfehle Ihnen, diese Referenzen und alle anderen seriösen Referenzen, die Sie finden, zu überprüfen, um die Dinge klar zu stellen. Tut mir leid, dass ich die Aussage in deinem letzten Kommentar nicht ganz verstehe.

RW Vogel · Answer 2

RW Vogel

Das aus der Änderungsrate des Impulses eines Teilchens ermittelte F ist die resultierende Kraft, die auf dieses Teilchen wirkt. In einem Teilchensystem besteht diese Resultante sowohl aus äußeren als auch aus systeminternen Kräften. Wenn Sie alle diese Kräfte (oder Drehmomente) zusammenzählen, heben sich die inneren auf (Aktion und Reaktion).

能够可能

Ich versuche, die Ableitung des obigen Lehrbuchs zu geben, es macht Sinn, dass sie gleich sind. Ich weiß, was Sie meinen, aber es ist nicht mein Zweifel (vielleicht verstehe ich ein bisschen). Ich fing an zu bemerken, dass die Geschwindigkeit des Impulses nicht relativ ist zum Referenzrahmen, ich glaube nicht, dass es wahr ist (das ist mein innerer Gedanke). Ich denke über Ihre Antwort nach, ich habe ein bisschen missverstanden.

能够可能

Weil die Kraft durch die Änderungsrate des Impulses gegeben ist. Obwohl die Geschwindigkeit nicht real ist, scheint ihr Verhältnis nicht real zu sein. Da sich die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts ändern kann, ist sie nur wahr, wenn sie sich nicht ändert .Wenn sich die Schwerpunktgeschwindigkeit ändert, muss eine Trägheitskraft hinzugefügt werden. Ich weiß nicht, was diese Gleichheitsbeziehung sonst erklären kann, ich verstehe es nicht.

Über den Drehimpuls des Teilchensystems bezogen auf den Schwerpunktbezug

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G. Smith

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Zusätzliche Anmerkung zur Objektivität von Kräften und zur Trägheitskraft

Verweise

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RW Vogel

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Gilt der Parallelachsensatz für nicht starre Körper?

Ableitung des Drehimpulses in einem rotierenden Bezugssystem

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