Wie wählt man den Ursprung in Rotationsproblemen, um das Drehmoment zu berechnen?

Um das Drehmoment zu berechnen,$\vec\tau=\vec r\times\vec F$, man kann jeden Ursprung wählen$O$. Das Drehmoment soll dann in Bezug auf berechnet werden$O$und es ist von dieser Wahl abhängig. Insbesondere wenn die Summe aller äußeren Kräfte auf das System verschwindet, dann ist das resultierende Drehmoment unabhängig davon$O$.

Beachten Sie bei der zweiten Frage, dass sich ein Teilchen beispielsweise in einer festen Ebene dreht$xy$Ebene, und die darauf wirkenden Kräfte liegen auch in dieser Ebene dann liegt das Drehmoment in der$z$Richtung, weil ein Vektorprodukt mit Kraft orthogonal dazu sein muss. Ebenso erfüllen die Ausdrücke für Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung auch Vektorproduktbeziehungen,$\vec v=\vec\omega\times\vec r$Und$\vec a=\vec\alpha\times\vec r+\vec\omega\times\vec v$. Wie Sie sehen können, muss die Winkelgeschwindigkeit senkrecht zur Geschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung senkrecht zur Beschleunigung sein.

Lassen$\vec{r}_0$sei der Ursprung deines Koordinatensystems. Es ist klar, dass das Drehmoment in Bezug auf diesen Punkt ist

$$\vec{Q}= (\vec{r}-\vec{r}_0)\times\vec{F} =\vec{r}\times\vec{F}-\vec{r}_0\times\vec{F}$$ Der letzte Term ist eine Konstante und hängt davon ab, welchen Ursprung man nimmt. Der Einfachheit halber kann iff als Null angenommen werden $\vec{r}_0$liegt auf der nach Richtung orientierten Achse $\vec{F}$, das sagt Ihr Lehrbuch.

Daher ist es am einfachsten, den Ursprung in einen beliebigen Punkt dieser Achse zu setzen.

In Bezug auf die zweite Frage: Wenn Sie eine ebene Bewegung haben, ist es bekannt, dass das Vektorprodukt zweier Vektoren, die auf derselben Ebene liegen, einen anderen senkrecht zu ihnen ergibt.

Bei einer ebenen Bewegung ist klar, dass der Ortsvektor$\vec{r}$, Geschwindigkeit$\vec{v}$liegen auf der Ebene, sowie ihre zeitlichen Ableitungen, daher ist jedes Vektorprodukt zwischen ihnen senkrecht zur Bewegungsebene orientiert.

Also, wo sollen wir den Ursprung nehmen?

Wo immer es bequem ist.

In vielen Fällen ist der Massenmittelpunkt des Objekts der bequemste Ort. Der Grund dafür ist, dass dies eine so bequeme Wahl ist, weil dadurch die Translations- und Rotationsbewegungsgleichungen entkoppelt werden:

$$\begin{aligned} \boldsymbol F &= m\,\boldsymbol a \\ \boldsymbol{\tau} &= \mathrm I\,\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \omega \times \mathrm I\,\boldsymbol \omega \end{aligned}$$ Wählen Sie einen anderen Ort als Ursprung und die Translations- und Rotationsbewegungsgleichungen werden miteinander gekoppelt: $$\begin{aligned} \boldsymbol F &= m\,\boldsymbol a - m\,\boldsymbol x_{cm}\times \boldsymbol \alpha + m\, \boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol x_{cm}) \\ \boldsymbol{\tau} &= m\,\boldsymbol x_{cm}\times \boldsymbol a + \mathrm I\,\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \omega \times \mathrm I\,\boldsymbol \omega \end{aligned}$$ Trotz der erhöhten Komplexität gibt es eine Reihe von Fällen, in denen ein außermittiger Ursprung die bevorzugte Wahl ist. Dies gilt insbesondere für die Robotik. Die Beschränkungen für die Bewegungen eines Roboterarms machen die verschiedenen Gelenke zu bevorzugten Orten zum Beschreiben der Bewegung jedes der Glieder, aus denen der Arm besteht.

Hier gibt es zwei Fälle:

• Statik - Bei der Betrachtung eines Systems, in dem$\sum \vec{F} =0$dann spielt die Wahl des Punktes, an dem die Drehmomente summiert werden, keine Rolle . (Siehe Die Wahl des Drehpunkts in Nicht-Gleichgewichtsszenarien ). Wählen Sie einfach eine aus, die das Problem am meisten vereinfacht.

• Dynamik - Hier muss der Punkt, um den Drehmomente berechnet werden, der Schwerpunkt sein, damit die Rotationsbewegungsgleichungen korrekt funktionieren. Denn die Bewegung des Massenschwerpunktes wird durch die Summe der Kräfte und die Rotation durch die Drehmomente um den Massenschwerpunkt beschrieben.

  Siehe Ableitung von Newton-Euler-Gleichungen für die dynamischen Gleichungen , die sich nicht im Massenmittelpunkt befinden .

$$\begin{aligned} \sum \vec{F} &= m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} + m \vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{c} \\ \sum \vec{M}_A &= I_C \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} +\vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} + m \vec{c} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{\omega} \times \vec{c} \right) \end{aligned}$$

Es besagt, dass das Drehmoment um die Achse gleich ist, unabhängig davon, wo Sie den Ursprung nehmen. Denn der Momentarm wird immer gleich sein.

Eine andere Sichtweise ist es$rsin\theta$. Je weiter man den Ursprung entfernt, desto größer wird der$r$und damit kleiner die$\theta$. Wie auch immer Sie es nehmen$risn\theta$wird dasselbe ergeben, unabhängig von den Werten von$r$Und$\theta$um die Achse.

Aber wenn der Ursprung anders gewählt wird, wird das Drehmoment geneigt und das Drehmoment um die Achse ist eine Komponente des Drehmoments um den Ursprung. Die andere Komponente erzeugt ein Drehmoment senkrecht zur Achse und parallel zur Zentripetalkraft.

Und über Winkelgeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit um die Achse immer parallel zur Achse. Aber das bedeutet nicht, dass es keine anderen Winkelgeschwindigkeiten senkrecht zur Achse gibt.

Aus diesem Grund setzen sie Lager auf die Achse, damit sie dieses Drehmoment und die Winkelgeschwindigkeit ausgleichen können.