Wie berechne ich die experimentelle und theoretische Rotationsträgheit einer Punktmasse?

Trägheitsmoment
Die Definition des (Massen-) Trägheitsmoments einer Punktmasse ist

$$I=r^2m$$ In der realen Welt trifft man jedoch nicht auf Punktmassen, sondern auf Objekte mit einem Volumen ungleich Null (endliche Dichte). Und führt zu einem Integral zur Bestimmung des Trägheitsmoments $$I=\int_m{r^2dm}=\int_V{\rho(r)r^2dV}=\int_x{\int_y{\int_z{\rho(x,y,z)(x^2+y^2+z^2)dz}dy}dx}$$ Die Lösungen dieses Integrals einiger Körper mit konstanter Nicht-Null-Dichte innerhalb des geometrischen Volumens und Null-Dichte außerhalb davon finden Sie hier . Zum Beispiel ist das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes, der sich um seinen Massenmittelpunkt dreht, gleich $I=\frac{mL^2}{12}$und für einen Vollzylinder $I=\frac{mL^2}{2}$.
Versuchsaufbau
In deinem Versuchsaufbau wird eine Schnur an einem Ende mit der hängenden Masse verbunden, über die Rolle geführt und dann um eine Trommel gewickelt (das andere Ende ist ebenfalls mit der Trommel verbunden). Diese Trommel ist das Objekt, von dem Sie ihr Trägheitsmoment bestimmen möchten, und es wird angenommen, dass es sich frei (ohne Schlupf) um seine Achse drehen kann.
Laut Ihrer Dokumentation messen Sie, wie weit sich die Riemenscheibe gedreht hat, ich nenne diesen Winkel $\theta$, und seine erste und zweite zeitliche Ableitung $\omega=\dot{\theta}$Und $\alpha=\ddot{\theta}$.
Die Verschiebung der hängenden Masse hängt mit der Winkelverschiebung der Riemenscheibe und ihrem Radius zusammen, $r_p$, vorausgesetzt, die Saite rutscht nicht, also $$s=r_p\theta$$ Wo $s$ist die vertikale Verschiebung der hängenden Masse nach unten.
Diese Verschiebung ist gleich der Menge an Saite, die von der Trommel abgerollt wird (unter der Annahme, dass die Saite nicht elastisch ist), was bedeutet, dass die Winkelverschiebung des Objekts, aus der Sie das Trägheitsmoment bestimmen möchten, ich dies nennen werde $\theta_I$, lässt sich hieraus umgekehrt über den Radius der Trommel berechnen $r_d$ $$s=r_p\theta=r_d\theta_I\rightarrow\theta_I=\frac{s}{r_d}=\frac{r_p}{r_d}\theta$$ Dieser lineare Zusammenhang gilt auch für die $\omega$Und $\alpha$.
Die einzige Kraft, die auf dieses System wirkt (das Arbeit verrichten kann), ist die Schwerkraft auf die hängende Masse. Aus all dem lässt sich die Bewegungsgleichung herleiten (ggf. anhand von Freikörperbildern und Spannung in der Saite).