Trägheit der Scheibe mit außermittigem Massenmittelpunkt

Question

Trägheit der Scheibe mit außermittigem Massenmittelpunkt

Julian Gutiérrez

Ich möchte die kinetische Energie einer Scheibe berechnen (Radius $R$ und Masse $M$ ) Rollen ohne Schlupf in horizontaler Ebene, aber mit verschobenem Massenschwerpunkt $r$ vom geometrischen Mittelpunkt.

Ich habe kein Problem mit dem translatorischen Teil (Massenschwerpunkt), aber mit dem rotatorischen $\dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2$ Ich weiß nicht, welcher Ausdruck für das Trägheitsmoment der richtige ist.

Meine Versuche:

$1.$ $I=\dfrac{1}{2}Mr^2$ , als ein Teilchen, das um die Mitte rollt.

$2.$ $I=I_{CM}+Mr^2$ , aber in diesem Fall (unter Verwendung des Satzes paralleler Achsen) weiß ich nicht, wie ich das berechnen soll $I_{CM}$ , da die Massenverteilung unbekannt ist (und nicht gleichmäßig, da der Schwerpunkt nicht im Zentrum liegt).

$3.$ $I=I_{CM}+Mr^2$ , wo diesmal $I_{CM}$ ist die einer gleichförmigen Scheibe der Masse M (also gleich $\dfrac{1}{2}MR^2$ aber das wäre so, als würde man sagen, dass die Scheibe um ihren Schwerpunkt rollt, was nicht der Fall ist.

Jede Hilfe wäre willkommen.

---------------------EDIT:-------------------- (Notation ändern in $r=a$ , $\theta=\phi$ , $I=I_{CM}$ )

Ich habe in Landau das gleiche Problem gefunden (gelöst):

Er verwendet die Trägheit um die Achse durch den Massenmittelpunkt, I, und überträgt diese mit dem Satz paralleler Achsen auf den Kontaktpunkt. Aber jetzt möchte ich die gleiche Berechnung mit dem obigen Ansatz durchführen. Die Position des Massenmittelpunkts ist $(-a\sin(\phi)+R\phi,-a\cos(\phi)+R)$ , also ist seine Geschwindigkeit $(-a\dot{\phi}\cos(\phi)+R\dot{\phi},-a\dot{\phi}\sin(\phi))$ , und die Translationsenergie des Massenschwerpunkts ist $\dfrac{1}{2}m(R^2+a^2-2aR\cos{\phi})\dot{\phi}^2$ .

Jetzt muss ich den Rotationsteil hinzufügen $\dfrac{1}{2}I^{*}\dot{\phi}^2$ . Also der einzige Weg, um das gleiche Ergebnis wie Landau zu erzielen $I^{*}=I$ , aber es sagt, dass sich die Scheibe um ihren Schwerpunkt dreht, was meiner Meinung nach nicht der Fall ist. Wenn stattdessen $I^{*}=I+Ma^2$ , (d. h. Übersetzen der Drehung um den Mittelpunkt) wie vorgeschlagen, dann ist das Ergebnis nicht dasselbe. Was ist falsch?

Antworten (1)

Trägheit der Scheibe mit außermittigem Massenmittelpunkt

Skawang · Answer 1

(1) ist definitiv falsch. Trägheitsmoment eines Körpers ist $\int_{\forall dm}{}(dm) r^2$ und nicht $(\int_{\forall dm}^{} dm)r^2$ (Sie müssen das Produkt aus Masse und Entfernung addieren, nicht die Masse addieren und dann mit der Entfernung multiplizieren).

(2) ist richtig, aber Sie können nicht finden $I_{CM}$ nur von den gegebenen Informationen.

Ich weiß wirklich nicht, was Sie in (3) getan haben. $I_{CM}$ ist nicht $\frac{1}{2}MR^2$ in diesem Fall.

Sie können das Trägheitsmoment nicht finden, indem Sie einfach die Masse des Körpers kennen und um wie viel der Massenschwerpunkt verschoben wurde, dh die Position des Massenschwerpunkts.

Lassen Sie mich ein Beispiel geben, sagen wir, es gibt 2 Massemassen $m$ . Nun liegt der Massenmittelpunkt im Mittelpunkt dieser beiden Punkte. Nehmen wir an, die Hälfte des Abstands zwischen diesen beiden Punkten ist $r$ . Also ist das Trägheitsmoment beider Massen um den Mittelpunkt $2mr^2$ . Bewegen Sie nun jede der Massen um eine Strecke $r$ weiter vom Massenmittelpunkt entfernt. Die Position des Massenschwerpunkts bleibt unverändert, aber das Trägheitsmoment wurde $8mr^2$ .

Der Punkt ist für einen gegebenen Massenschwerpunkt und eine Masse $M$ , gibt es unendlich viele Massenverteilungen, die die gleiche Position des Massenschwerpunkts, aber unterschiedliche Trägheitsmomente um denselben Punkt ergeben. Sie können nicht ableiten $\int_{\forall dm}{}(dm) r^2$ aus $\int_{\forall dm}{}(dm) \vec{r}^{\,}$ .

--------------------- BEARBEITEN: --------------------

Sie haben vor Ihrer Bearbeitung nicht erwähnt, dass das Trägheitsmoment um den Massenmittelpunkt gegeben war.

Sie scheinen ein Problem mit dem Ausdruck der kinetischen Energie eines rotierenden Körpers zu haben. Der Ausdruck für die gesamte kinetische Energie ist

K = K_{T R A N S l A T ich Ö N A l} + K_{R Ö A T A T ich Ö N A l} = \frac{1}{2} M v_{C M}^{2} + \frac{1}{2} {ICH}_{C M} ω^{2}

$K=K_{translational}+K_{roatational}=\frac{1}{2}Mv_{CM}^2+\frac{1}{2}I_{CM}\omega ^2$ Die kinetische Rotationsenergie als solche kann um jede Achse sein und variiert von Achse zu Achse aufgrund von Änderungen im Trägheitsmoment. Wenn Sie jedoch den Gesamtenergieausdruck berechnen

K = K_{t r a n s l a t i o n a l} + K_{r o a t a t i o n a l} = \frac{1}{2} M v_{C M}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}

$K=K_{translational}+K_{roatational}=\frac{1}{2}Mv_{CM}^2+\frac{1}{2}I\omega ^2$ Sie müssen das Trägheitsmoment ungefähr verwenden

C M

$CM$ . Der Grund wird deutlich, wenn man sich die Ableitung der gesamten kinetischen Energie eines rotierenden Körpers ansieht. Ich werde die Ableitung später geben, wenn Sie möchten, da dies den Rahmen der Frage sprengen wird.

Markieren Sie auch Ihre Bearbeitung. Im Moment sieht es so aus, als wäre es eine Fortsetzung.

Völlig richtig, ich habe die Herleitung des Ausdrucks für die totale kinetische Energie studiert. Vielen Dank.

Trägheit der Scheibe mit außermittigem Massenmittelpunkt

Julian Gutiérrez

Antworten (1)

Skawang

Julian Gutiérrez

Hat ein rotierender Stab sowohl translatorische als auch rotatorische kinetische Energie?

Trägheitsmoment: gleichmäßiger starrer Stab auf glatter Ebene [geschlossen]

Wenn ich einen Stab biege, ändert sich sein Trägheitsmoment?

Kinetische Energie und Rotationsbewegung

Kann das Trägheitsmoment negativ sein? [geschlossen]

Hohlzylinder vs. Vollzylinder [geschlossen]

Wie wende ich den Parallelachsensatz richtig auf ein Stabkugelsystem an, das sich um seinen Massenmittelpunkt dreht?

Trägheitsmoment des 4-Teilchen-Systems

Bleibt der Drehimpuls eines Systems, dessen Trägheitsmoment sich ändert, konstant?

Trägheitsmoment eines Rings um eine im Bogenmaß π4π4\frac {\pi}{4} geneigte Achse senkrecht zur Ringebene [geschlossen]