Trägheitsmoment eines Rings um eine im Bogenmaß π4π4\frac {\pi}{4} geneigte Achse senkrecht zur Ringebene [geschlossen]

Ich habe einen dünnen Massering M und Radius R , ich muss sein Trägheitsmoment um eine Achse finden, die durch seinen Mittelpunkt und in einem Winkel von verläuft π 4 Radiant mit der Normalen zur Ebene des Rings.

Mein Ansatz:

Ich versuche, den Satz senkrechter Achsen zu verwenden. Angenommen, ich lege drei zueinander senkrechte Achsen auf die Mitte, so dass eine der Durchmesser ist, eine andere senkrecht dazu (auch Durchmesser), aber auf der Ebene des Rings, während die dritte parallel zur Normalen ist, jetzt drehe ich die Achsen so dass der eine von ihnen den Durchmesser beibehält, während die anderen beiden gegeneinander geneigt sind π 4 zum normalen.

Nun, da ich das Trägheitsmoment um einen Durchmesser ( M R 2 2 ) Also das erforderliche Trägheitsmoment (sagen wir ICH ) muss sein :

ICH + ICH = M R 2 2 aus dem Satz senkrechter Achsen, Also, ICH = M R 2 4 .

Ist meine Denkweise in diesem Fall richtig?

Antworten (1)

Ich glaube leider nicht, dass das so funktioniert.

Lassen Sie mich einen allgemeineren Ansatz vorschlagen: let X ^ , j ^ , z ^ Seien die normalen Achsen zum Ring (zwei Durchmesser bzw. normal), lassen Sie jetzt X ^ ' , j ^ ' , z ^ ' seien die gedrehten Achsen. Wir wollen rechnen ICH z ' . Schreiben Sie nun die Koordinatenänderungsmatrix auf, die einfach eine Drehung um die ist j ^ Achse:

Λ = [ cos ⁡ θ 0 − Sünde ⁡ θ 0 1 0 Sünde ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ]

Diese Matrix ist so, dass X → ' = Λ X →

Jetzt können wir den Trägheitstensor für leicht in den normalen Koordinaten aufbauen, weil er diagonal ist:

ICH = [ 1 2 M R 2 0 0 0 1 2 M R 2 0 0 0 M R 2 ]

Da I ​​nun ein Tensor ist, verwandelt er sich in einen Tensor, sodass er in den neuen Koordinaten (den „ersten“ Koordinaten) gegeben ist durch ICH ich J ' = Λ ich k Λ J l ICH k l → ICH ' = Λ ICH Λ T . Eine einfache Rechnung zeigt:

ICH ' = [ M R 2 ( cos 2 ⁡ θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ ) 0 M R 2 2 cos ⁡ θ Sünde ⁡ θ 0 M R 2 2 0 M R 2 2 cos ⁡ θ Sünde ⁡ θ 0 M R 2 ( Sünde 2 ⁡ θ 2 + cos 2 ⁡ θ ) ]

Wie Sie sehen können, wann θ = π / 4 du hast ICH X ' X ' = ICH z ' z ' = 3 4 M R 2 .

Einfache Regel Die Spur des Trägheitstensors ist bei Koordinatenänderung invariant. In normalen Koordinaten ist es 2 M R 2 (nur die Summe der drei diagonalen Komponenten). In unseren gedrehten Koordinaten, seit wann θ = π / 4 Symmetrien deuten darauf hin ICH X ' X ' = ICH z ' z ' Und ICH j ' j ' = ICH j j = M R 2 / 2 (Die j Achse ist die Rotationsachse und ändert sich daher nicht), können Sie eine Spurinvarianz auferlegen und das Ergebnis erhalten.

Danke, aber gibt es nicht eine einfache Möglichkeit, Symmetrie oder ein Theorem zu verwenden?
Ich kann mir keinen einfacheren Weg vorstellen als das, was ich "Einfache Regel" genannt habe, nämlich die Berechnung der Spur ( 2 M R 2 ) und verwenden Sie dann Trace-Invarianz und -Symmetrie zum Schreiben ICH + ICH + M R 2 / 2 = 2 M R 2 .
Danke, es ist meine Schuld, dass ich es nicht verstehe, da ich in der High School bin. Übrigens können Sie mir sagen, warum mein Ansatz nicht funktioniert, es scheint jedoch logisch.
Sorry, mein Ansatz war etwas zu hart fürs Abitur! Wie auch immer, wenn Sie Wikipedia überprüfen, kann das "Theorem der senkrechten Achsen" angewendet werden, wenn das Objekt in der Ebene liegt, die durch zwei der drei Achsen definiert ist. In diesem Fall können Sie es in verwenden X ^ , j ^ , z ^ Kohorten, aber nicht in den Primzahlen.
Trägheitsmoment eines Rings um eine im Bogenmaß π4π4\frac {\pi}{4} geneigte Achse senkrecht zur Ringebene [geschlossen]
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