Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehimpuls

Question

Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehimpuls

Mahl-Deneb

Ich möchte wissen, wie man die Gleichung herleitet $\vec{\tau}=\vec{\omega} \times \vec{L}$ , wo

$\vec{\tau}$ ist das Moment der Kraft (auch bekannt als Drehmoment),

$\vec{L}$ ist der Drehimpuls,

$\vec{\omega}$ ist die Winkelgeschwindigkeit.

Kleingordon

Diese Formel gilt im Allgemeinen nicht. Grundsätzlich ist das Drehmoment die zeitliche Ableitung des Drehimpulses. Können Sie mehr Kontext dafür geben, wie Sie auf diese Gleichung gestoßen sind?

Antworten (4)

Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehimpuls

Diese Formel gilt im Allgemeinen nicht. Grundsätzlich ist das Drehmoment die zeitliche Ableitung des Drehimpulses. Können Sie mehr Kontext dafür geben, wie Sie auf diese Gleichung gestoßen sind?

JoshPhysik · Answer 1

Hier ist der Beweis, den Sie meiner Meinung nach suchen. Wie Ali in seiner Antwort bemerkt, gelten die Ergebnisse für einen starren Körper, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht.

Lassen $\vec r_i$ bezeichnen die Position eines Teilchens in einem starren Körper. Angenommen, dieser starre Körper wird mit Winkelgeschwindigkeit gedreht $\vec \omega$ , dann

{\dot{\vec{r}}}_{ich} = \vec{ω} \times {\vec{r}}_{ich}

$\dot {\vec r}_i = \vec \omega\times\vec r_i$ Einen Beweis dafür finden Sie im Anhang. Indem man die Ableitung beider Seiten nach der Zeit bildet und beide Seiten mit multipliziert

m_{i}

$m_i$ , die Masse des Teilchens

i

$i$ , wir erhalten

{\dot{\vec{p}}}_{ich} = ω \times {\vec{p}}_{ich}

$\dot {\vec p}_i = \omega\times \vec p_i$ Jetzt notieren wir einfach, dass if

{\vec{F}}_{i}

$\vec F_i$ bezeichnet die Nettokraft auf das Teilchen

i

$i$ , dann gibt Newtons zweites Gesetz

{\vec{F}}_{i} = \dot{{\vec{p}}_{i}}

$\vec F_i = \dot{\vec p_i}$ damit

\begin{aligned} {\vec{τ}}_{ich} & = {\vec{r}}_{ich} \times {\vec{F}}_{ich} \\ = {\vec{r}}_{ich} \times \dot{{\vec{p}}_{ich}} \\ = {\vec{r}}_{ich} \times (\vec{ω} \times {\vec{p}}_{ich}) \\ = - {\vec{p}}_{ich} \times ({\vec{r}}_{ich} \times \vec{ω}) - \vec{ω} \times ({\vec{p}}_{ich} \times {\vec{r}}_{ich}) \\ = {\vec{p}}_{ich} \times (\vec{ω} \times {\vec{r}}_{ich}) + \vec{ω} \times ({\vec{r}}_{ich} \times {\vec{p}}_{ich}) \\ = {\vec{p}}_{ich} \times {\dot{\vec{r}}}_{ich} + \vec{ω} \times {\vec{L}}_{ich} \\ = \vec{ω} \times {\vec{L}}_{ich} \end{aligned}

$\begin{align} \vec\tau_i &= \vec r_i\times \vec F_i \\ &= \vec r_i\times\dot{\vec p_i} \\ &= \vec r_i\times(\vec\omega\times\vec p_i) \\ &= -\vec p_i\times(\vec r_i\times \vec\omega) - \vec\omega\times(\vec p_i\times\vec r_i) \\ &= \vec p_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) + \vec\omega\times(\vec r_i\times\vec p_i) \\ &= \vec p_i\times \dot{\vec r}_i + \vec \omega\times \vec L_i \\ &= \vec\omega\times \vec L_i \end{align}$ Dies ist im Grunde die Identität, nach der Sie gesucht haben. In der vierten Gleichung habe ich die sogenannte Jacobi-Identität verwendet . Nun, indem Sie die Summe übernehmen

i

$i$ , ist das Ergebnis leicht ersichtlich, um auch für das Nettodrehmoment zu gelten

τ

$\tau$ auf den Körper und den Gesamtdrehimpuls

\vec{L}

$\vec L$ vom Körper;

\vec{τ} = \vec{ω} \times \vec{L}

$\vec \tau = \vec\omega\times\vec L$

Anhang. Die Bewegung eines sich drehenden starren Körpers wird durch Drehungen erzeugt. Mit anderen Worten, es gibt eine gewisse zeitabhängige Drehung $R(t)$ wofür

\vec{r} (t) = R (t) \vec{r} (0)

$\vec r(t) = R(t) \vec r(0)$ Es folgt dem

\dot{\vec{r}} (t) = \dot{R} (t) \vec{r} (0) = \dot{R} (t) R (t)^{T} \vec{r} (t) = \vec{ω} (t) \times \vec{r} (t)

$\dot{\vec r}(t) = \dot R(t) \vec r(0) = \dot R(t)R(t)^T\vec r(t) = \vec\omega(t)\times \vec r(t)$ Im letzten Schritt habe ich die Tatsache genutzt, dass

R (t)

$R(t)$ ist jeweils eine orthogonale Matrix

t

$t$ was das impliziert

\dot{R} R^{T}

$\dot R R^T$ ist antisymmetrisch. Daraus folgt, dass ein Vektor existiert

\vec{ω}

$\vec \omega$ , die wir die Winkelgeschwindigkeit des Körpers nennen, für die

\dot{R} R^{T} \vec{A} = \vec{ω} \times \vec{A}

$\dot R R^T \vec A = \vec \omega\times\vec A$ für alle

\vec{A}

$\vec A$ .

Können wir L = Iw für jede Rotationsachse in starren Körpern verwenden?

Ali · Answer 2

Wie Kleingordon und andere betonten, ist diese Gleichung im Allgemeinen nicht wahr. Aber es kann in einem bestimmten Kontext wahr sein. Ich werde versuchen, die Bedingungen abzuleiten, unter denen es wahr sein kann.

Wir alle wissen das:

\vec{τ} = \frac{d \vec{L}}{d t}

$\vec\tau = \frac{ d \vec{L}}{dt}$

Aber wir wollen haben:

\vec{τ} = \vec{ω} \times \vec{L} \Rightarrow \frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{ω} \times \vec{L}

$\vec{\tau}=\vec \omega \times\vec{L} \\ \Rightarrow \frac{d\vec L}{dt}=\vec \omega \times \vec L$

Nun der Fall, wo die zeitliche Ableitung eines Vektors (in diesem Fall $\vec L$ ) ist das Kreuzprodukt eines konstanten Vektors (in diesem Fall $\vec \omega$ ) mit diesem Vektor ist ein bekannter Fall . Es ist einfach der Fall, dass dieser Vektor ( $\vec L$ ) rotiert um den konstanten Vektor ( $\vec \omega$ ) mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, was zufällig ist $|\vec \omega|$ .

Das ist falsch . Die Einheiten der Gleichung selbst sind falsch.
@Dimension10 Nein, sind sie nicht! Ich denke, was Sie vermissen, ist die Tatsache, dass Winkel dimensionslos sind.
Häh? $[\vec\omega] = \frac1{\operatorname{second}}$ . $[\vec\alpha]=\frac1{\operatorname{second^2}}$ .
Ja so? Das widerlegt nicht die Tatsache, dass Winkelbeschleunigung in ist $\frac1{\operatorname{second}^2}$ .
@Dimension10 $\omega$ ist keine Winkelbeschleunigung, sondern Winkelgeschwindigkeit. Wer hat von Winkelbeschleunigung gesprochen?
GENAU DAS sage ich. Omega ist Winkelgeschwindigkeit, Alpha ist Winkelbeschleunigung , . Wenden Sie nun Eulers zweites Gesetz der Newtonschen (Rotations-) Mechanik an. . . .
Oh, ich sehe die Verwirrung hier. $\vec I$ , ist die Angst. Momentum (in der Frage), ich dachte, es sei das Trägheitsmoment. Könnten Sie einfach etwas sagen wie "Ich ändere I zu L, da es das ang. Momentum ist" (teilweise, weil ich meine (ungerechtfertigte) Ablehnung rückgängig machen möchte) und mich benachrichtigen? . ?
@Dimension10 Fertig. Tatsächlich habe ich darüber nachgedacht, die Notation der Hauptfrage zu ändern, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden.
@Ali, ich stimme Ihrer Antwort zu, aber wie kann ich das ableiten? Sie verfolgen einen qualitativen Ansatz, keine Demonstration dessen, woher diese Gleichung kommt.

Folau · Answer 3

Ich bin mir nicht sicher, woher Sie diese Gleichung haben, aber ich werde versuchen, Ihnen zu zeigen, warum andere vorschlagen, dass sie nicht korrekt ist.

Sie können versuchen, die linearen Analoga dieser Werte zu betrachten. In einem linearen System sagt man das:

$\text{Force} = \text{Velocity}\times \text{Momentum} = v \times mv = m v^2$

Was etwas anders ist als das Newtonsche Gesetz

$F = m a$

Woher hast du diese Gleichung und worauf bezieht sie sich?

Tatsächlich denke ich jetzt darüber nach, die Tatsache, dass L = Iw bedeutet, dass die Vektoren in die gleiche Richtung gehen, aber um I skaliert werden (Rotationsanalog der Masse). Sicherlich wird hier das Kreuzprodukt sowieso 0 sein? Wollen Sie Omega als Winkelgeschwindigkeit verwenden? Sie haben das nie ausdrücklich gesagt, aber es ist die allgemeine Konvention.
Hallo Folau, "Rad" oder Winkel im Allgemeinen sind dimensionslos; Die Einheiten stimmen also überein. Außerdem können Sie Latex-Befehle verwenden, um Ihre Antwort zu verbessern.
Ich bin auf der Arbeit, also tippe ich etwas in Eile, aber danke :) Ich war mir sicher, dass mir etwas an den Einheiten fehlte. Ist meine zweite Annahme solide oder habe ich einen weiteren Fehler gemacht?
Nein, mein Schlechtes, habe falsch gelesen, was du gesagt hast: PI habe es gelesen, dass du gesagt hast, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, wodurch die Winkelbeschleunigung 0 ist, was in Bezug auf Newton II irgendwie trivial ist, aber ich habe falsch gelesen, wie du die Vektoren interpretiert hast .

Mueen Wani · Answer 4

Das Drehmoment ist ein Rotationsanalog der Kraft. Sie spielt in der Rotationsdynamik die gleiche Rolle wie die Kraft in der Linearbewegung. Drehmoment ist definiert als das Kraftmoment oder die drehende Kraftwirkung um die gegebene Achse oder den gegebenen Punkt. Er wird als Kreuzprodukt aus Orts- und Kraftvektor gemessen, während Drehimpuls das Rotationsanalog des linearen Impulses ist. Er ist ein axialer Vektor und wird als Kreuzprodukt aus Orts- und Impulsvektor gemessen.

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