Allgemeine Bewegung eines Kegels auf einer geneigten Fläche

"Wie wird sich der Kegel bewegen, wenn er sich aufgrund seines Gewichts in Bewegung setzt?"

Um diese Gleichung zu beantworten, müssen Sie die Bewegungsgleichungen erhalten.

Sie haben 3 verallgemeinerte Koordinaten

• um den Winkel der z-Achse drehen$\psi$
• Neigungsebene x Position$s_x$
• y-Position der geneigten Ebene$s_y$

damit bekommt man:

Kinetische Energie

$$T=\frac 1 2\,{{\it \dot{s}_x}}^{2}m+\frac 1 2\,{{\it \dot{s}_y}}^{2}m+\frac 1 2\,{\dot{\psi}}^{2}{{\it J_z} }^{2}-\tau_z\,\psi$$

Wo$\tau_z$ist das Drehmoment aufgrund der Reibungskräfte und$J_z$ist die Trägheit der Kegel-z-Komponente.

Potenzielle Energie

$$U=m\,g \left( \sin \left( \alpha \right) {\it s_y}+{\it s_z} \right)$$

Wo$s_z$ist die z-Komponente des COM.

Also: Die EOMs:

$$m\,\ddot{s}_x+F_{Rx}=0$$ $$m\,\ddot{s}_y+F_{Ry}+m\,g\,\sin(\alpha)=0$$ $$J_z^2\,\ddot{\psi}+\tau_z=0$$

mit$\tau_z=F_{Ry}\,y_s\quad$Und$F_{Rx}=\mu\,N\,,F_{Ry}=\mu\,N\quad , N=m\,g\,\cos(\alpha)$

Gemäß den EOMs bewegt sich der Kegel "diagonal" auf der schiefen Ebene und rotiert um die Z-Achse des Kegels

Für einen massiven Kegel ist die COM$\frac{h}{4}$über seiner Basis

Entlang der Steigung können wir die folgenden Gleichungen schreiben.

Kräfte:

$$Mg\sin\theta+f=Ma$$

Drehmoment:

$$\frac{fh}{4} = I \alpha$$

In diesem Fall$I = \frac{3}{5}m(\frac{r^2}{4}+h^2)$

Rollen:

$$\alpha = \frac{a}{h/4}$$

Da wir 3 Gleichungen und 3 Unbekannte haben$(f, a, \alpha)$Das System kann gelöst werden.