Harmonischer Oszillator: wenn E=12qθ˙2+12sθ2E=12qθ˙2+12sθ2E=\frac{1}{2} q \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} s \theta^2 dann ω=sq−−√ω=sq\omega=\sqrt{\frac{s}{q}}?

Der Punkt der Energie in jedem System ist, dass sie zeitlich konstant ist$^1$, was bedeutet$\dot E=0$. In diesem speziellen Fall

$$E=\frac{1}{2}q\dot\theta^2+\frac{1}{2}s\theta^2$$ die nach Zeitdifferenzierung $^2$wird $$\dot E=q\dot\theta\ddot\theta+s\theta\dot\theta$$

Wenn Sie dies gleich Null setzen, erhalten Sie

$$\ddot\theta+\frac{s}{q}\theta=0$$ das ist nur die gleichung für harmonische bewegung , wo man es ablesen kann $^3$die Frequenz als $\omega^2=s/q$.

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$^1$die Energie ist in fast jeder Situation konstant, aber manchmal (z. B. wenn die Kräfte nicht konservativ sind, wie z. B. Reibung)$E$kann sich mit der Zeit ändern. Ich nehme an, das ist Ihnen bekannt.

$^2$Beachten Sie, dass ich hier die Kettenregel verwende :$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(\theta)=f'(\theta)\dot\theta$.

$^3$die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist$\theta(t)=a\cos\left(\sqrt{s/q}\;t+\phi\right)$, Wo$a,\phi$sind Integrationskonstanten. Sie können dies überprüfen, indem Sie diesen Ausdruck in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob es funktioniert. Daraus sollte klar sein, dass die Frequenz durch die Quadratwurzel gegeben ist$\sqrt{s/q}$, wie wir beweisen wollten.