Energieverlust im gedämpften Oszillator

Die Dämpfung führt ein dissipatives Element in das System ein, dh Energie verlässt das Feder-Masse-System mit der Zeit. Die Energie bleibt also nicht erhalten.

Die maximale Energie für das System tritt bei seiner anfänglichen Konfiguration auf; Die Feder ist etwas gedehnt$A$(Anfangsamplitude). Die Anfangsenergie für die Feder ist somit rein potentieller Natur. Erinnern Sie sich nun daran, dass die potentielle Energie dieses Systems geschrieben werden kann

$$\begin{equation*} E_{\text{total}}=U(A)=\frac{1}{2}kA^{2} \end{equation*}$$ Wo $A$ist die Anfangsamplitude. Sie haben selbst die Zeitentwicklung des Systems geliefert, $x=x(t)$, die die Amplitude enthält. Aufgrund dieser Dämpfung ist die Amplitude jedoch zeitabhängig und wir haben $$\begin{equation*} A(t)=x_{0}e^{-\alpha t} \end{equation*}$$ dadurch entsteht $$\begin{equation*} E_{\text{total}}(t)=\frac{1}{2}kx^{2}_{0}e^{-2\alpha t} \end{equation*}$$ was manchmal ein expliziter Ausdruck der Energie im Feder-Masse-System ist $t$. Damit können wir die an die Umgebung verlorene Energie (aufgrund der Dämpfungsreibung) als schreiben $$\begin{equation*} E_{\text{out}}(t)\equiv E_{\text{total}}(t=0) - E_{\text{total}}(t) = \frac{1}{2}kx^{2}_{0}(1-e^{-2\alpha t}) \end{equation*}$$

Edit: Was meinst du mit "die Anfangsenergie ausgleichen".$\frac{1}{2}kx^{2}_{0}$'' ist mir unklar. Aber ich glaube, dass Sie die Antwort auf Ihre letzte Frage finden können, wenn Sie meine Antwort betrachten.

Würde man erwarten, dass diese Energie dem entspricht$1/2 kx_0^2$die wir ursprünglich in das System eingegeben haben?

Ja, es muss.

Zwischen zwei beliebigen Zeitpunkten gilt die Energieeinsparung. Wenn Ihr Punkt eins ist, ist die Feder zunächst gedehnt, bevor sie mit Energie losgelassen wird$U_{el}=\frac{1}{2}kx_0^2$und Ihr Punkt zwei ist die Situation, in der keine Energie mehr in der Feder gespeichert ist$U_{el}=0$, Dann:

$$\sum E_{total,1}=\sum E_{total,2} \Rightarrow \\ U_{el,1}=U_{el,2}+Q \Rightarrow \\ \frac{1}{2}kx_0^2=Q_{damping}$$

Wo$Q$ist Wärme oder Arbeit, die eine Dämpfung verursacht.

Es gibt eine einfache Möglichkeit, um zu überprüfen, ob Ihre Formel für$E_{out}$ist richtig und man braucht nicht einmal eine explizite Lösung der Differentialgleichung:

Wenn die Formel stimmt, dann muss aufgrund der Erhaltung der Gesamtenergie das gelten$E_{kin} + E_{pot} - E_{out} = \text{const}$. Also setzen wir Ihre Formel ein und prüfen durch Differentiation:

$$\begin{align*} \frac{d}{dt}\left( \frac12 m \dot{x}(t)^2 + \frac{1}{2}kx(t)^2 + c\int_0^t \dot{x}(t)^2\right) &= m {\dot x}(t){\ddot x}(t) + kx(t){\dot x}(t)+c{\dot x}(t)^{2} \\ &= {\dot x}(t)\bigl(-kx(t)-c{\dot x}(t)\bigr) + kx(t){\dot x}(t)+c{\dot x}(t)^{2}\\ &=0, \end{align*}$$ wobei wir die Differentialgleichung selbst verwendet haben, um von der ersten zur zweiten Zeile zu gelangen.