Periode auf der Phasenebene (kleine Schwingungen)

Question

Periode auf der Phasenebene (kleine Schwingungen)

Luthien

Ich habe diese Formel, um die Periode einer Bewegung im Phasenraum (in diesem Fall Plan) entlang einer Phasenkurve zu berechnen.

T (E) = \int_{X_{1}}^{X_{2}} \frac{D X}{\sqrt{2 (E - U (X))}}

$\begin{equation} T(E)=\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{2(E-U(x))}} \end{equation}$ Wo

E

$E$ ist die Gesamtenergie des Systems,

U (x)

$U(x)$ ist die potentielle Energie und

x_{1}

$x_1$ Und

x_{2}

$x_2$ sind die Punkte meiner Phasenkurve, die die abfangen

x

$x$ -Achse des Phasenplans (Inversionspunkte). Nun soll ich die Periode der kleinen Schwingungen in der Umgebung des Punktes berechnen

x_{0}

$x_0$ , das ist der Punkt des potentiellen Energieminimums. Also muss ich im Grunde finden:

T_{0} = lim_{E \to E_{0}} T (E)

$\begin{equation} T_0=\lim_{E\to E_0}{T(E)} \end{equation}$ Wo

E_{0} = U (x_{0})

$E_0=U(x_0)$ .

Mein Versuch: Ich habe Taylor verwendet, um U(x) in einer Umgebung von auszuwerten $x_0$ . Also, wenn man bedenkt, dass E dazu neigt $U(x_0)$ Ich habe:

T (E) = \int_{X_{1}}^{X_{2}} \frac{D X}{\sqrt{2 (U (X_{0}) - U (X_{0}) - U^{'} (X_{0}) (X - X_{0}) - \frac{U^{″} (X_{0}) (X - X_{0})^{2}}{2}}}

$\begin{equation} T(E)=\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{2(U(x_0)-U(x_0)-U'(x_0)(x-x_0)-\frac{U''(x_0)(x-x_0)^2}{2} }} \end{equation}$ und da

U^{'} (x_{0}) = 0

$U'(x_0)=0$ (Weil

x_{0}

$x_0$ ist ein Minimum für

U (x)

$U(x)$ )

T (E) = \int_{X_{1}}^{X_{2}} \frac{D X}{\sqrt{- U^{″} (X_{0}) (X - X_{0})^{2}}}

$\begin{equation} T(E)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{dx}{\sqrt{-U''(x_{0})(x-x_{0})^2} } \end{equation}$ Also an dieser Stelle bin ich verwirrt, weil

U^{″} (x_{0})

$U''(x_{0})$ ist sicher positiv, und das lässt mich mit einer negativen Zahl unter einer Quadratwurzel zurück. Ich bin mir sicher, dass ich irgendwo einen Satz angewendet habe, wo ich es nicht hätte tun sollen. Ich habe das Gefühl, dass es ein mathematisches Problem ist.

Mein Buch (Arnold) sagt, dass die Lösung ist $2\pi$ / $\sqrt{U''(x_{0})}$ aber ich bin hier total hängengeblieben. Kannst du mir helfen? Wo ist mein Fehler?

PS Entschuldigung für meinen Mangel an Formalismus, wie das Weglassen der Little-O-Notation usw., aber ich denke, Sie haben trotzdem meinen Punkt verstanden :)

AccidentalFourierTransform

Siehe Warum

ω = \sqrt{V^{″} (x_{0}) / m}

$\omega=\sqrt{V''(x_0)/m}$

Antworten (1)

Periode auf der Phasenebene (kleine Schwingungen)

Kosmas Zachos · Answer 1

Ihr Ausdruck ist für die halbe Periode, also verdoppeln Sie ihn, um zurück zu oszillieren. Sie haben Recht, das Potential soll konkav sein, also positive zweite Ableitung, aber Sie haben nicht berücksichtigt, dass, wenn die Energie des Systems unten ist, keine kinetische Energie, es sich nicht bewegt: Sie brauchen also wirklich eine kleine Menge von Energie oben $E_0$ , und wie jedes Pendel zeigt, spielt es keine Rolle, wie viel , solange es nicht Null ist! So nimm $E=U(x_0)+\epsilon/2$ , den Atem anhalten, dass die Größe von $\epsilon$ ist irrelevant - Spoiler-Alarm.

Der Rest deiner Bewertung ist in Ordnung,

T (E) = \int_{X_{1}}^{X_{2}} \frac{D X}{\sqrt{2 (U (X_{0}) + ϵ / 2 - U (X_{0}) - U^{'} (X_{0}) (X - X_{0}) - \frac{U^{″} (X_{0}) (X - X_{0})^{2}}{2}}}

$T(E)=\int_{x_1}^{x_2}\frac{\text{d}x}{\sqrt{2(U(x_0)+\epsilon/2-U(x_0)-U'(x_0)(x-x_0)-\frac{U''(x_0)(x-x_0)^2}{2}}}$ somit

T (E) = \int_{X_{1}}^{X_{2}} \frac{D X}{\sqrt{ϵ - \frac{U^{″} (X_{0}) (X - X_{0})^{2}}{2}}} = \int_{X_{1}}^{X_{2}} \frac{D X / \sqrt{ϵ}}{\sqrt{1 - \frac{U^{″} (X_{0}) (X - X_{0})^{2}}{2 ϵ}}}

$T(E)=\int_{x_1}^{x_2}\frac{\text{d}x}{\sqrt{ \epsilon -\frac{U''(x_0)(x-x_0)^2}{2} }} \\ = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\text{d}x/\sqrt{ \epsilon} }{\sqrt{ 1 - \frac{U''(x_0)(x-x_0)^2}{2\epsilon}}}$

Nun sehen Sie, dass die Integration variabel ist und Umkehrpunkte verschoben werden können $x_0$ , Und $\sqrt{\epsilon}$ in die Normalisierung der neuen Variablen absorbiert werden und verschwinden, solange sie nicht 0 ist. Außerdem kann die neu definierte Dummy-Variable durch ähnliches Absorbieren noch neu definiert werden $U''(0)$ darin, die nicht verschwindet, und dann weiter neu definiert als $=\sin \theta$ , mit der offensichtlichen Übersetzung der Umkehrpunkte der Halbschwingung:

T (E) = \frac{1}{\sqrt{U^{″} (0)}} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{\cos θ D θ}{\sqrt{1 - {Sünde}^{2} θ}} = \frac{π}{\sqrt{U^{″} (0)}}

$T(E)= \frac{1}{\sqrt{U''(0)}} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos\theta \text{d}\theta }{\sqrt{ 1 -\sin^2\theta}} \\ = \frac{\pi}{\sqrt{U''(0)}}$ für die Halbzeit und das Doppelte für die Vollzeit.

Danke Kosmas! Jetzt kann ich endlich verstehen, wo mein Fehler lag! Du hast Recht, ich habe einfach E=U(x_0) gesetzt, nicht berücksichtigt, dass in diesem Fall TENDING TO und EQUAL TO zwei völlig verschiedene Dinge sind! Vielen Dank, du hast alles klarer gemacht!
Wie sind die Extrema des Integrals von $T(E)$ Konstante? sie hängen eindeutig davon ab $E$
@Pietro Nein, tun sie nicht! Nehmen Sie die Skalierung explizit vor. Wenn Sie das Verschwinden von verfolgt $\epsilon$ , ein Proxy für E , in der Skalierung sehen Sie, dass die skalierten dies nicht tun.
@Pierre Man sollte an die Inversionspunkte denken $x_1$ Und $x_2$ als Phasenpunkte $(x_0 \pm \frac{\epsilon}{2},0)$ , was dem Zeitpunkt entspricht, an dem der gestörte Oszillator auf seiner Spitze und seinem Tiefpunkt ist. Dann wenden wir die Änderung der Variablen an $\sin{\theta} = \frac{(x - x_0)}{\sqrt{2\epsilon}}$ . Wir bekommen dann die $\pm \frac{\pi}{2}$ als Integrationsgrenzen.

Periode auf der Phasenebene (kleine Schwingungen)

Luthien

AccidentalFourierTransform

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Kosmas Zachos

Luthien

Pierto

Kosmas Zachos

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